Question

【題目】如圖，四棱錐中，平面平面，底面為梯

形， ， , .且與均為正三角形, 為的中點(diǎn)，

為重心.

(1)求證： 平面；

(2)求異面直線與的夾角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）連接交于，連接，由重心性質(zhì)推導(dǎo)出，根據(jù)線面平行的判定定理可得平面；（2）取線段上一點(diǎn)，使得，可證 即是異面直線與的夾角，由余弦定理可得結(jié)果.

試題解析：（1）方法一：連交于,連接.

由梯形， 且，知

又為的中點(diǎn)， 為的重心，∴，在中， ,故// . 又平面, 平面,∴//平面.

方法二：過作交于,過作交于,連接,

為的重心， ,,

又為梯形， ,,

, ∴

又由所作， 得// ， 為平行四邊形.

, 面

(2) 取線段上一點(diǎn)，使得，連,則,

, ,在中

，則異面直線與的夾角的余弦值為.

角函數(shù)和等差數(shù)綜合起來命題，也正體現(xiàn)了這種命題特點(diǎn).

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、異面直線所成的角、余弦定理，屬于中擋題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.