Question

用記號

n

i=0

a_i表示a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n，b_n=

n

i=0

a_2i，其中i∈N，n∈N^*．
（1）設(shè)

2n

k=1

（1+x）^k=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2n-1x^2n-1+a_2nx²ⁿ（x∈R），求b₂的值；
（2）若a₀，a₁，a₂，…，a_n成等差數(shù)列，求證：

n

i=0

（a_iC

i n

）=（a₀+a_n）•2^n-1；
（3）在條件（1）下，記d_n=1+

n

i=1

[（-1）ⁱb_iC

i n

]，計(jì)算

lim

n→∞

dn

bn

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：極限及其運(yùn)算

專題：計(jì)算題

分析：（1）將n=2代入，再令x=1，-1，即可求b₂的值；
（2）設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=a₀+nd，利用k

C

k n

=n

C

k-1 n-1

，即可得出結(jié)論；
（3）求出b_n=4ⁿ-1、d_n=（-3）ⁿ+1代入

lim

n→∞

dn

bn

，即可求值．

解答： （1）解：將n=2代入

2n

k=1

（1+x）^k=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2n-1x^2n-1+a_2nx²ⁿ中得，

4

i=1

（1+x）^k=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，
其中a₀+a₁+a₂+a₃+a₄=2+4+8+16=30，
a₀-a₁+a₂-a₃+a₄=0，
所以b₂=a₀+a₂+a₄=15；
（2）證明：設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=a₀+nd，其中d為公差，
則

n

i=0

（a_iC

i n

）=a₀（

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

）+d（

C

1 n

+2

C

2 n

…+n

C

n n

），
因?yàn)閗

C

k n

=n

C

k-1 n-1

，
所以

C

1 n

+2

C

2 n

…+n

C

n n

=n（

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+…+

C

n-1 n-1

），
所以

n

i=0

（a_iC

i n

）=a₀•2n+nd•2^n-1=（2a₀+nd）•2^n-1=（a₀+a_n）•2^n-1；
（3）解：令x=1，則

2n

i=0

a_i=2+2²+…+2²ⁿ=

2(1-4n)

1-2

=2•4ⁿ-2，
x=-1，則

2n

i=0

[（-1）ⁱa_i]=0，
所以b_n=

n

i=0

a_2i=4ⁿ-1
根據(jù)已知條件可知，d_n=1+

n

i=0

[（-1）ⁱb_iC

i n

]=（-3）ⁿ+1，
將b_n=4ⁿ-1、d_n=（-3）ⁿ+1，代入

lim

n→∞

dn

bn

得到：

lim

n→∞

dn

bn

=

lim

n→∞

(-3)n+1

4n-1

=

lim

n→∞

(- 3 4 )n-( 1 4 )n

1-( 1 4 )n

=0．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于難題．