Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)與有相同的極值點（極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值），求的值；

（2）記.

①若在區(qū)間（為自然對數(shù)底數(shù)）上至少存在一點，使得成立，求的取值范圍；

②若函數(shù)圖象存在兩條經(jīng)過原點的切線，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①或，②.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求出與的極值點即可；

（2）①轉(zhuǎn)化為求在上恒成立，再求其補集即可，即有，令，求導(dǎo)，分和討論求值最小值，列不等式求出的取值范圍，再求其補集即可；

②設(shè)切點，求出切線方程，可把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上有兩個零點，利用導(dǎo)數(shù)，分，，討論求出單調(diào)性和極值，進而可得結(jié)果.

（1）因為，所以.

令，解得（舍去）.

		1
	+	0	-
	↗	極大值	↘

所以為函數(shù)的極大值點.

因為，所以.

令，解得.

	+	0	-
	↗	極大值	↘

所以為函數(shù)的極大值點.

因為函數(shù)與有相同的極值點，所以.

（2）①.

先求在上恒成立，即有.

令，則，令，得.

若，則當(dāng)時，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，得.

若時，同理得，得.

綜上，的取值范圍為或；

②設(shè)切點，

則切線方程為，又切線過原點，

則，整理得

設(shè)，題意即為，函數(shù)在上有兩個零點.

由于.

（i）當(dāng)時，無零點；

（ii）當(dāng)時，在上遞減，此時不可能存在兩個零點，故不滿足條件；

（iii）當(dāng)時，令，

	－	0	＋
	↘	極小值	↗

所以極小值.

要使函數(shù)在上有兩個零點，則必須滿足，所以.

因為在連續(xù)且為增函數(shù)，所以在唯一零點.

因為，而在連續(xù)且為減函數(shù)，故在有唯一零點.

所以當(dāng)時，在有兩個零點，滿足條件.

故所求的取值集合為.