Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；

（2）若函數(shù)僅一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)得，因?yàn)?/span>為單調(diào)函數(shù)，故或恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究或哪個(gè)能成立即可；
（2）因?yàn)?/span>，所以是的一個(gè)零點(diǎn)，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，為上的增函數(shù)，所以僅有一個(gè)零點(diǎn)，滿(mǎn)足題意，當(dāng)時(shí)，得，分，，討論驗(yàn)證即可．

解析：（1）由（），得

，

因?yàn)?/span>為單調(diào)函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，或恒成立，

由于，于是只需或對(duì)于恒成立，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，所以為增函數(shù)，

則．又當(dāng)時(shí)，，

則不可能恒成立，即不可能為單調(diào)減函數(shù)．

當(dāng)，即時(shí)，恒成立，

此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)．

（2）因?yàn)?/span>，所以是的一個(gè)零點(diǎn)．

由（1）知，當(dāng)時(shí)，為的增函數(shù)，

此時(shí)關(guān)于x的方程僅一解，即函數(shù)僅一個(gè)零點(diǎn)，滿(mǎn)足條件．

當(dāng)時(shí)，由得，

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，

則，

令，

易知為的增函數(shù)，且，

所以當(dāng)時(shí)，，即，為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，即，為增函數(shù)，

所以，

在上恒成立，且僅當(dāng)，于是函數(shù)僅一個(gè)零點(diǎn)．

所以滿(mǎn)足條件．

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由于在為增函數(shù)，

則，當(dāng)時(shí)，．

則存在，使得，即使得，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以，且當(dāng)時(shí)，．

于是當(dāng)時(shí)存在的另一解，不符合題意，舍去．

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，則在為增函數(shù)，

又，，

所以存在，使得，也就使得，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以，且當(dāng)時(shí)，．

于是在時(shí)存在的另一解，不符合題意，舍去．

綜上，a的取值范圍為或．