Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=t，a_n+1=

tan

an+1

，其中t＞0．
（Ⅰ）當(dāng)t=1時(shí)，求證數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）當(dāng)t≠1時(shí)，求證數(shù)列{

1

an

-

1

t-1

}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）試證明：對于一切正整數(shù)n，不等式2na_n≤tⁿ⁺¹+1均成立．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差關(guān)系的確定,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）本題先利用等差數(shù)列定義對數(shù)列成等差證明；（2）利用數(shù)列成等比，求出其通項(xiàng)公式，得到相應(yīng)結(jié)論；（3）要證明不等式成立，通過分析，得到一個(gè)易證的不等式，再利用基本不等式加以證明．

解答： （Ⅰ）解：由an+1=

tan

an+1

得：

1

an+1

=

1

t

+

1

tan

，
當(dāng)t=1時(shí)，

1

an+1

=1+

1

an

，
即有：

1

an

成等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，
∴

1

an

=n，即an=

1

n

．
（Ⅱ） 當(dāng)t≠1時(shí)，

1

an+1

-

1

t-1

=

1

t

(

1

an

-

1

t-1

)，
又∵

1

a1

-

1

t-1

=

1

t

-

1

t-1

≠0，
∴數(shù)列

1

an

-

1

t-1

成等差數(shù)列．
于是

1

an

-

1

t-1

=(

1

t

-

1

t-1

)(

1

t

)n-1，
即

1

an

=

1

t-1

+(

1

t

-

1

t-1

)(

1

t

)n-1=

1

t-1

[1-(

1

t

)n]，
∴當(dāng)t≠1時(shí)，an=

(t-1)tn

tn-1

．
（Ⅲ）當(dāng)t=1時(shí)，2nan=2n•

1

n

=2=tn+1+1，
當(dāng)t≠1時(shí)，要證2nan≤tn+1+1，即證：2n

(t-1)tn

tn-1

≤tn+1+1，
即證：2n

(t-1)

tn-1

≤t+

1

tn

，只需證：

2n(t-1)

(t-1)(tn-1+tn-2+…+t+1)

≤t+

1

tn

，
只需證：2n≤(tn-1+tn-2+…+t+1)(1+

1

tn

)．
∵t＞0，
∴(tn-1+tn-2+…+t+1)(1+

1

tn

)
=(t+

1

t

)+(t2+

1

t2

)+…+(tn+

1

tn

)≥2n．
（∵t≠1，∴等號(hào)不成立．）
綜上所述，當(dāng)t＞0時(shí)，對于一切正整數(shù)n，不等式2nan≤tn+1+1恒成立．

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)有：等差數(shù)列、等比數(shù)列、基本不等式等，還考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力和化歸轉(zhuǎn)化的能力，有一定有難度，屬于難題．