Question

15．?dāng)?shù)列{a_n}中，為遞增等比數(shù)列，a₂=9，a₁+a₃=30．
（1）求{a_n}；
（2）數(shù)列{2n•a_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）設(shè)遞增等比數(shù)列{a_n}的公比為q，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公比，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：（1）設(shè)遞增等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
則a₁q=9，a₁+a₁q²=30，
解方程可得q=3，a₁=3（q=$\frac{1}{3}$，a₁=27舍去），
即有a_n=3ⁿ：
（2）2n•a_n=2n•3ⁿ，
即有前n項(xiàng)和T_n=2（3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ），
3T_n=2（3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹），
兩式相減可得-2T_n=2（3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹）
=2（$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹）
化簡(jiǎn)可得，前n項(xiàng)和T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n+1}+3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查錯(cuò)位相減法求和的方法，同時(shí)考查等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，屬于中檔題．