Question

在△ABC中，B=60°，AC=

3

，AB+BC的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：解三角形

分析：利用余弦定理求出AB•BC與AB+BC的關(guān)系式，利用基本不等式求得AB+BC的范圍，進(jìn)而求得其最大值．

解答： 解：設(shè)AB+BC=t，
cosB=

AB2+BC2-AC2

2AB•BC

=

t2-2AB•BC-3

2AB•BC

=

1

2

，
∴t²-3=3AB•BC，即（AB+BC）²-3=3AB•BC
∵AB•BC≤

(AB+BC)2

4

，當(dāng)且僅當(dāng)AB=BC時(shí)，等號(hào)成立，
∴（AB+BC）²-3≤

3

4

•（AB+BC）²，
∴

1

4

•（AB+BC）²≤3，即（AB+BC）²≤12，
∴AB+BC≤2

3

，
∴AB+BC的最大值為2

3

，此時(shí)AB=BC=AC=

3

，
故答案為：2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，基本不等式等知識(shí)．在運(yùn)用基本不等式時(shí)，一定要注意在使用基本不等式，判斷等號(hào)能否成立．