已知函數(shù)f(x)=Asin(
π
3
x+ϕ)
(A>0,x∈R,0<ϕ<
π
2
).y=f(x)的部分圖象如圖所示,點(diǎn)P(1,A)為圖象的最高點(diǎn).
(1)求f(x)的最小正周期及ϕ的值;
(2)若A=
2
,且g(x)=1-f2(x)(x∈R),求當(dāng)x取什么值(用集合表示)時,函數(shù)g(x)有最大值和函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間.
考點(diǎn):由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調(diào)性
專題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析:(1)由周期公式可得周期T=
π
3
=6
,集合點(diǎn)P(1,A)在曲線上,可得φ的方程,結(jié)合φ的范圍可得;
(2)由A=
2
f(x)=
2
sin(
π
3
x+
π
6
)
,代入化簡可得g(x)的解析式,可得單調(diào)區(qū)間和最值.
解答: 解:(1)由題意可得f(x)的最小正周期T=
π
3
=6

又點(diǎn)P(1,A)在曲線上,∴A=Asin(
π
3
+ϕ)
,即sin(
π
3
+ϕ)=1
,
π
3
+ϕ=2kπ+
π
2
,∴ϕ=2kπ+
π
6
,
解得0<ϕ<
π
2
,∴ϕ=
π
6

(2)由A=
2
f(x)=
2
sin(
π
3
x+
π
6
)

g(x)=1-f2(x)=1-2sin2(
π
3
x+
π
6
)=cos(
3
x+
π
3
)

當(dāng)
3
x+
π
3
=2kπ
時,即x=3k-
1
2
,k∈z時,函數(shù)g(x)有最大值1.
2kπ-π≤
3
x+
π
3
≤2kπ
3k-2≤x≤3k-
1
2
,
∴當(dāng)3k-2≤x≤3k-
1
2
,k∈z時,y=cos(
3
x+
π
3
)
單調(diào)遞增,
∴當(dāng)x∈{x|x=3k-
1
2
,k∈Z}
函數(shù)g(x)有最大值.
函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為[3k-2,3k-
1
2
]
 k∈Z
點(diǎn)評:本題考查由三角函數(shù)的圖象得其解析式,涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和最值,屬中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a,b,c∈R,給出下列命題:
①若a>b,則ac2>bc2;
②若ab≠0,則
a
b
+
b
a
≥2
;
③若a>b>0,n∈N*,則an>bn;
④若logab<0(a>0,a≠1),則a,b中至少有一個大于1.
其中真命題的個數(shù)為( 。
A、2B、3C、4D、1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的四個頂點(diǎn)為A1,A2,B1,B2,兩焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,若以F1F2為直徑的圓內(nèi)切于菱形A1B1A2B2,切點(diǎn)分別為A,B,C,D,則菱形A1B1A2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值
S1
S2
=( 。
A、
5
+1
2
B、2
5
-2
C、
5
+2
2
D、
5
-1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C圓心坐標(biāo)為(3,1),且圓C與直線3x+4y+2=0相切.
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)若圓C與直線x-y+a=0交于M,N兩點(diǎn),且OM⊥ON,求實(shí)數(shù)a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系上,設(shè)不等式組
x>0
y≥0
y≤-2n(x-3)
(n∈N*)表示的平面區(qū)域?yàn)镈n,記Dn內(nèi)的整點(diǎn)(橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的個數(shù)為an
(1)求出a1,a2,a3的值(不要求寫過程);
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)令bn=
1
anan+1
(n∈N*),求b1+b2+…+bn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果?x∈D,?y∈D,使
f(x)+f(y)
2
=C(C為常數(shù))成立,則稱函數(shù)f(x)在D上的均值為C,已知四個函數(shù):
①y=x3(x∈R);
②y=(
1
2
x(x∈R);
③y=lnx(x∈(0,+∞));
④y=2sinx+1(x∈R),
上述四個函數(shù)中,滿足所在定義域上“均值”為1的函數(shù)是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

二次函數(shù)y=x2-4x+3在區(qū)間[1,4]上的值域
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(3,1),
b
=(x,-2),
c
=(0,2),若
a
⊥(
b
-
c
),則實(shí)數(shù)x的值為(  )
A、
4
3
B、
3
4
C、-
3
4
D、-
4
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C:x2+(y-1)2=5,直線l:mx-y+1-m=0.
(1)求證:對任意的m,直線l與圓C總有兩個不同的交點(diǎn);
(2)設(shè)l與圓C交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=
17
,求l的傾斜角;
(3)求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

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