Question

已知圓C圓心坐標(biāo)為（3，1），且圓C與直線3x+4y+2=0相切．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C與直線x-y+a=0交于M，N兩點(diǎn)，且OM⊥ON，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）利用圓C與直線3x+4y+2=0相切，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出半徑，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）先把直線與圓的方程聯(lián)立消去y，因?yàn)镺M⊥ON得到x₁x₂+y₁y₂=0，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a即可．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)題意設(shè)所求圓C的方程為：（x-3）²+（y-1）²=r²（r＞0），
則由圓C與直線3x+4y+2=0相切得：d=

|3•3+4•1+2|

32+42

=3=r，
∴所求圓C的方程為：（x-3）²+（y-1）²=9…（5分）
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則聯(lián)立方程得方程組：

x-y+a=0 (x-3)2+(y-1)2=9

消去y整理得方程：2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0⇒

△=56-16a-4a2＞0 x1+x2=4-a x1•x2= a2-2a+1 2

∵OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（x₁+a）（x₂+a）=0，
∴2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0，
∴2•

a2-2a+1

2

+a•(4-a)+a2=0，
∴a=-1．
經(jīng)檢驗(yàn)，a=-1滿足△＞0，故a=-1為所求…（12分）

點(diǎn)評：本題是一道直線與圓的方程的綜合題，主要考查學(xué)生對圓標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識，會(huì)利用根與系數(shù)的關(guān)系解決數(shù)學(xué)問題．