Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明： .

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再研究二次方程：無(wú)根以及兩個(gè)等根或兩個(gè)負(fù)根時(shí)導(dǎo)函數(shù)不變號(hào)，為單調(diào)遞增；當(dāng)兩個(gè)不等正根時(shí)，有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，（2）由極值定義得， ，則化簡(jiǎn)為一元函數(shù)： ，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性，得其最大值小于.

試題解析：（1），

所以

（1）當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增

（2）當(dāng)時(shí)，令，

當(dāng)即時(shí)， 恒成立，即恒成立

所以在上單調(diào)遞增

當(dāng)，即時(shí)，

，兩根

所以，

，

,

故當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)， 在和上單調(diào)遞增

在上單調(diào)遞減.

（2）

由（1）知時(shí)， 上單調(diào)遞增，此時(shí)無(wú)極值

當(dāng)時(shí)，

由得

，設(shè)兩根，則，

其中

在上遞增，在上遞減，在上遞增

令

，所以在上單調(diào)遞減，且

故.