Question

【題目】（本小題滿分12分）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，焦點(diǎn)為,拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且.

（Ⅰ）求此拋物線的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)做直線交拋物線于兩點(diǎn),求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）證明過(guò)程見解析.

【解析】

試題分析：對(duì)于第一問(wèn)，根據(jù)題意，設(shè)出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)用點(diǎn)在曲先上，滿足曲線的方程，向量垂直應(yīng)用向量的數(shù)量積等于零，構(gòu)造出相應(yīng)的方程，從而求出p的值，進(jìn)而得到拋物線的方程；對(duì)于第二問(wèn)，把握住垂直關(guān)系由向量的數(shù)量積等于零來(lái)體現(xiàn)，注意對(duì)直線的斜率不存在的時(shí)候的驗(yàn)證，主要就是關(guān)于直線和曲線相交，聯(lián)立方程組過(guò)程要熟練.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)，點(diǎn)，則有 1分

3分

，所以拋物線的方程為. 5分

（Ⅱ）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)，解得

滿足 7分

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，

聯(lián)立方程

設(shè)，則 9分

11分

綜上，成立. 12分