Question

用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，則截面與底面之間的部分叫棱臺(tái)。
如圖，在四棱臺(tái)中，下底是邊長(zhǎng)為的正方形，上底是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱⊥平面，.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求平面與平面夾角的余弦值.

Answer 1

以D為原點(diǎn)，以DA、DC、DD₁所在直線(xiàn)分別為x軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz如圖，則有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（1，0，2），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），D₁（0，0，2）.   
（Ⅰ）設(shè)由得到，進(jìn)一步得到平面；
（Ⅱ）二面角的余弦值為.

解析試題分析：以D為原點(diǎn)，以DA、DC、DD₁所在直線(xiàn)分別為x軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz如圖，則有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（1，0，2），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），D₁（0，0，2）.    3分

（Ⅰ）證明：設(shè)則有所以，，∴平面；   6分
（Ⅱ）解：
設(shè)為平面的法向量，

于是   8分
同理可以求得平面的一個(gè)法向量，   10分

∴二面角的余弦值為.    12分
考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系，角的計(jì)算。
點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟。在空間垂直關(guān)系明確的情況下，通過(guò)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量可簡(jiǎn)化證明過(guò)程。本題難度不大。