Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，定點P（$\sqrt{2}$，1），直線OP交橢圓C于點Q（其中O為坐標原點），且|$\overrightarrow{OQ}$|=$\frac{a}$|$\overrightarrow{OP}$|．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A（2，0），過點（-1，0）的直線l交橢圓C于M、N兩點，△AMN的面積記為S，若對滿足條件的任意直線l，不等式S≤λtan∠MAN恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意知a²=2b²，直線OP的方程為y=$\frac{1}{\sqrt{2}}$x，與$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1聯(lián)立可解得|x|=b，從而求橢圓C的方程．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）；分直線l垂直于x軸時與直線l不垂直于x軸時討論，從而可得$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$≤$\frac{17}{2}$；從而化恒成立問題為最值問題求解即可．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a²=2b²，
由題意知，直線OP的方程為y=$\frac{1}{\sqrt{2}}$x，
與$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1聯(lián)立解得，
|x|=b，
又∵|$\overrightarrow{OQ}$|=$\frac{a}$|$\overrightarrow{OP}$|，
∴$\frac{|OQ|}{|OP|}$=$\frac{|x|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}$=$\frac{a}$，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）；
當直線l垂直于x軸時，x₁=x₂=-1，y₁=-y₂，${{y}_{1}}^{2}$=$\frac{1}{2}$，
故$\overrightarrow{QM}$=（x₁-2，y₁）=（-3，y₁），$\overrightarrow{QN}$=（-3，-y₁），
故$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$=9-${{y}_{1}}^{2}$=$\frac{17}{2}$，
當直線l不垂直于x軸時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），
與$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1聯(lián)立消y可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
故x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
故$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+（k²-2）（x₁+x₂）+k²+4
=$\frac{17}{2}$-$\frac{13}{2（1+2{k}^{2}）}$＜$\frac{17}{2}$；
綜上所述，$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$的最大值為$\frac{17}{2}$．
∵不等式S≤λtan∠MAN恒成立，
即$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{QM}$|•|$\overrightarrow{QN}$|sin∠MAN≤λtan∠MAN恒成立，
又∵$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$=$\frac{17}{2}$-$\frac{13}{2（1+2{k}^{2}）}$＞0，
∴$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$≤2λ恒成立，
故λ的最小值為$\frac{17}{4}$．

點評 本題考查了圓錐曲線的方程的求法與應用，同時考查了平面向量的數(shù)量積的應用及恒成立問題，同時考查了學生的化簡運算能力，屬于難題．