Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+2lnx（a∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線斜率為-1，求a的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的極值；
（3）設(shè)g（x）=x²-2x，若對(duì)任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)在曲線上一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于過這點(diǎn)切線的斜率，很容易求出a=2；
（2）求得導(dǎo)數(shù)，并分解因式，對(duì)a討論，求得單調(diào)區(qū)間，可得f（x）的極值；
（3）由題意可得[f（x）]_max＜g（x）_max在（0，2]恒成立，求得g（x）的最大值0，說明在（0，2]上f（x）的最大值小于0，所以就轉(zhuǎn)變成求函數(shù)f（x）的最大值了．而求函數(shù)的最大值，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并注意討論a．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+2lnx的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$，
曲線在（1，f（1））處的切線斜率為f′（1）=a-（2a+1）+2=-1，
解得a=2；
（2）f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$=$\frac{（ax-1）（x-2）}{x}$，（x＞0），
①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=$\frac{2-x}{x}$，x＞2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
0＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
f（x）在x=2處取得極大值，且為2ln2--2a-2；
②當(dāng)a＜0時(shí)，x＞2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
0＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
f（x）在x=2處取得極大值，且為2ln2--2a-2；
③當(dāng)a＞0時(shí)，若$\frac{1}{a}$＜2，即a＞$\frac{1}{2}$，則f（x）在（0，$\frac{1}{a}$），（2，+∞）單調(diào)遞增，（$\frac{1}{a}$，2）單調(diào)遞減，
∴f（x）的極大值為f（$\frac{1}{a}$）=-2-2lna，f（x）的極小值為f（2）=2ln2-2a-2；
若$\frac{1}{a}$≥2，即0＜a≤$\frac{1}{2}$，則f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，（2，$\frac{1}{a}$）遞減，（$\frac{1}{a}$，+∞）遞增，
∴f（x）的極大值為f（2）=2ln2-2a-2，f（x）的極小值為f（$\frac{1}{a}$）=-2-2lna；
（3）由g（x）=x²-2x=（x-1）²-1在（0，2]的最大值為g（2）=0，
由題意可得[f（x）]_max＜g（x）_max=0在（0，2]恒成立，
f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$=$\frac{（ax-1）（x-2）}{x}$，
∴①a=0時(shí)，在（0，2]上f'（x）=$\frac{2-x}{x}$≥0，
∴f（x）在（0，2]單調(diào)遞增，∴f_max（x）=f（2）=2ln2-2＜0，∴a=0符合題意．
②a＜0時(shí)，在（0，2]上f′（x）=$\frac{（ax-1）（x-2）}{x}$=$\frac{a（x-\frac{1}{a}）（x-2）}{x}$＞0，
∴f（x）在（0，2]單調(diào)遞增，∴f_max（x）=f（2）=2ln2-2a-2＜0．
解得a＞ln2-1，∴l(xiāng)n2-1＜a＜0符合題意．
③a＞0時(shí)，若$\frac{1}{a}$＜2，即a＞$\frac{1}{2}$，則f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）單調(diào)遞增，（$\frac{1}{a}$，2）單調(diào)遞減，
∴fmax（x）=f（$\frac{1}{a}$）=-2-2lna＜0，∴a＞$\frac{1}{2}$符合題意．
若$\frac{1}{a}$≥2，即0＜a≤$\frac{1}{2}$，則f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，
∴f_max（x）=f（2）=2ln2-2a-2＜0，∴0＜a≤$\frac{1}{2}$符合題意．
綜上得：a∈（ln2-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查的知識(shí)點(diǎn)有：函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與過這點(diǎn)切線的關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值．由任意存在性可知，得出只要讓f（x）的最大值小于g（x）的最大值，并注意對(duì)a的討論過程．