Question

20．△ABC中，已知sin²B+sin²C+sinBsinC=sin²A．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求2$\sqrt{3}$cos²$\frac{C}{2}$-sin（$\frac{4π}{3}$-B）的最大值，并求取得最大值時(shí)角B、C的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理化簡(jiǎn)得b²+c²-a²=-bc，利用余弦定理解得cosA=-$\frac{1}{2}$，結(jié)合A的范圍即可解得A的值．
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)所求為$\sqrt{3}+2$sin（C+$\frac{π}{3}$），根據(jù)C的范圍，即可利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)得解．

解答 解：（Ⅰ）由已知sin²B+sin²C+sinBsinC=sin²，（2分）
得b²+c²-a²=-bc，
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，--------------------------------------（4分）
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{2π}{3}$．--------------------------------------（6分）
（Ⅱ）∵A=$\frac{2π}{3}$，∴B=$\frac{π}{3}$-C，0$＜C＜\frac{π}{3}$．
2$\sqrt{3}$cos²$\frac{C}{2}$-sin（$\frac{4π}{3}$-B）=2$\sqrt{3}×\frac{1+cosC}{2}$+sin（$\frac{π}{3}-B$）=$\sqrt{3}+2$sin（C+$\frac{π}{3}$）．-------（10分）
∵0$＜C＜\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{3}$＜C+$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴當(dāng)C+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，2$\sqrt{3}$cos²$\frac{C}{2}$-sin（$\frac{4π}{3}$-B）取最大值$\sqrt{3}+2$，解得B=C=$\frac{π}{6}$．---（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．