Question

15．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=-x²+ax+a+1，則f（-2）=-3a+3；若函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)減函數(shù)，則a的取值范圍是a≤0．

Answer 1

分析 利用奇函數(shù)的性質(zhì)，求出f（-2）；借助二次函數(shù)圖象的特征及奇函數(shù)性質(zhì)可求a的范圍．

解答 解：f（-2）=-f（2）=-（-4+2a+a+1）=-3a+3；
①當(dāng)a≤0時，對稱軸x=$\frac{a}{2}$≤0，所以f（x）=-x²+ax+a+1在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
由于奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，所以f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
所以a≤0時，f（x）在R上為單調(diào)遞減函數(shù)，
當(dāng)a＞0時，f（x）在（0，$\frac{a}{2}$）遞增，在（$\frac{a}{2}$，+∞）上遞減，不合題意，
所以函數(shù)f（x）為單調(diào)減函數(shù)時，a的范圍為a≤0．
故答案為：-3a+3；a≤0．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．