【題目】已知點(diǎn)為橢圓
上任意一點(diǎn),直線
與圓
交于
兩點(diǎn),點(diǎn)
為橢圓
的左焦點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的離心率及左焦點(diǎn)
的坐標(biāo);
(Ⅱ)求證:直線與橢圓
相切;
(Ⅲ)判斷是否為定值,并說明理由.
【答案】(1);(2)證明見解析;(3)答案見解析.
【解析】
(1)由題意可得,
,據(jù)此確定離心率即可;
(2)由題意可得.分類討論
和
兩種情況證明直線與橢圓相切即可;
(3)設(shè),
,當(dāng)
時(shí),易得
.當(dāng)
時(shí),聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得
,結(jié)合韋達(dá)定理和平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算可得
.據(jù)此即可證得
為定值
.
(1)由題意,
,
所以離心率,左焦點(diǎn)
.
(2)由題知,,即
.
當(dāng)時(shí)直線
方程為
或
,直線
與橢圓
相切.
當(dāng)時(shí),由
得
,
即
所以
故直線與橢圓
相切.
(3)設(shè),
,
當(dāng)時(shí),
,
,
,
,
所以,即
.
當(dāng)時(shí),由
得
,
則,
,
.
因?yàn)?/span>
.
所以,即
.
故為定值
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在中,
,
,點(diǎn)
在拋物線
上.
(1)求的邊
所在的直線方程;
(2)求的面積最小值,并求出此時(shí)點(diǎn)
的坐標(biāo);
(3)若為線段
上的任意一點(diǎn),求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中心在原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線與圓
:
有公共點(diǎn)
,且圓
在點(diǎn)
處的切線與雙曲線
的一條漸近線平行,則該雙曲線的實(shí)軸長為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】教材曾有介紹:圓上的點(diǎn)
處的切線方程為
。我們將其結(jié)論推廣:橢圓
上的點(diǎn)
處的切線方程為
,在解本題時(shí)可以直接應(yīng)用。已知,直線
與橢圓
有且只有一個(gè)公共點(diǎn).
(1)求的值;
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過橢圓
上的兩點(diǎn)
、
分別作該橢圓的兩條切線
、
,且
與
交于點(diǎn)
。當(dāng)
變化時(shí),求
面積的最大值;
(3)在(2)的條件下,經(jīng)過點(diǎn)作直線
與該橢圓
交于
、
兩點(diǎn),在線段
上存在點(diǎn)
,使
成立,試問:點(diǎn)
是否在直線
上,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形中,
,
,四邊形
為矩形,且
平面
,
.
(1)求證:平面
;
(2)點(diǎn)在線段
上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)
在什么位置時(shí),平面
與平面
所成銳二面角最大,并求此時(shí)二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題:“三百一十五里關(guān),初步健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請公仔細(xì)算相還其大意為:“有一個(gè)人走315里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛,每天走的路程為前一天的一半,走了 6天后到達(dá)目的地. ”則該人最后一天走的路程為( )
A.20里B.10里C.5 里D.2.5 里
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】天壇公園是明、清兩代皇帝“祭天”“祈谷”的場所.天壇公園中的圜丘臺(tái)共有三層(如圖1所示),上層壇的中心是一塊呈圓形的大理石板,從中心向外圍以扇面形石(如圖2所示).上層壇從第一環(huán)至第九環(huán)共有九環(huán),中層壇從第十環(huán)至第十八環(huán)共有九環(huán),下層壇從第十九環(huán)至第二十七環(huán)共有九環(huán);第一環(huán)的扇面形石有9塊,從第二環(huán)起,每環(huán)的扇面形石塊數(shù)比前一環(huán)多9塊,則第二十七環(huán)的扇面形石塊數(shù)是______;上、中、下三層壇所有的扇面形石塊數(shù)是_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓與圓
關(guān)于直線
對稱.
(1)求圓的方程;
(2)過點(diǎn)作兩條相異直線分別與圓
相交于
、
兩點(diǎn),若直線
、
的傾斜角互補(bǔ),問直線
與直線
是否垂直?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方形沿對角線
折成直二面角,下列結(jié)論:①異面直線
與
所成的角為
;②
;③
是等邊三角形;④二面角
的平面角正切值是
;其中正確結(jié)論是______.(寫出你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào))
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