【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若f(1)=0,求函數(shù)f(x)的最大值;
(Ⅱ)令,討論函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若a=2,正實(shí)數(shù)x1,x2滿足證明
【答案】(1)f(x)的最大值為f(1)=0.(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析
【解析】試題分析:(Ⅰ)代入求出值,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值,進(jìn)而判斷最值;(Ⅱ)求出,求出導(dǎo)函數(shù),分別對(duì)參數(shù)分類討論,確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),得出函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅲ)整理方程,觀察題的特點(diǎn),變形得,故只需求解右式的范圍即可,利用構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)的方法求出右式的最小值.
試題解析:(Ⅰ)因?yàn)?/span>,所以a=-2,此時(shí)f(x)=lnx-x2+x,
f'(x)=-2x+1,
由f'(x)=0,得x=1,
∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
故當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)有極大值,也是最大值,所以f(x)的最大值為f(1)=0.
(Ⅱ)g(x)=f(x)-ax2-ax+1,
∴g(x)=lnx-ax2-ax+x+1 ,
當(dāng)a=0時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)a>0時(shí),x∈(0,)時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;x∈(,+∞)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)a<0時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;
(Ⅲ)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=lnx+x2+x,x>0,.
由f(x1)+f(x2)+x1x2=0,即
lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x2x1=0.
從而(x1+x2)2+(x1+x2)=x1x2-ln(x1x2),.
令t=x2x1,則由φ(t)=t-lnt得,φ'(t)=.
可知,φ(t)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.所以φ(t)≥1,
所以(x1+x2)2+(x1+x2)≥1,正實(shí)數(shù)x1,x2,
∴.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有2名老師,3名男生,3名女生站成一排照相留念,在下列情況中,各有多少種不同站法?
(1)3名男生必須站在一起;
(2)2名老師不能相鄰;
(3)若3名女生身高都不等,從左到右女生必須由高到矮的順序站.(最終結(jié)果用數(shù)字表示)
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【題目】設(shè)函數(shù),其中.
(1)若函數(shù)為偶函數(shù),求實(shí)數(shù)的值;
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;
(3)若方程有且僅有一個(gè)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),函數(shù).
(1)若函數(shù), 的最小值為-16,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),不等式的解集為,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,函數(shù).
(Ⅰ)求在區(qū)間上的最小值;
(Ⅱ)設(shè),當(dāng)時(shí), 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中.
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若在區(qū)間內(nèi)恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2017屆高三第二次湖北八校文數(shù)試卷第16題)祖暅(公元前5~6世紀(jì))是我國(guó)齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家,是祖沖之的兒子.他提出了一條原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異.”這里的“冪”指水平截面的面積,“勢(shì)”指高.這句話的意思是:兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等,則這兩個(gè)幾何體體積相等.設(shè)由橢圓所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周后,得一橄欖狀的幾何體
(如圖)(稱為橢球體),課本中介紹了應(yīng)用祖暅原理求球體體積公式的做法,請(qǐng)類比此法,求出橢球體體積,其體積等于______ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某知名品牌汽車深受消費(fèi)者喜愛(ài),但價(jià)格昂貴。某汽車經(jīng)銷商退出三種分期付款方式銷售該品牌汽車,并對(duì)近期100位采用上述分期付款的客戶進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得到如下的柱狀圖。已知從三種分期付款銷售中,該經(jīng)銷商每銷售此品牌汽車1輛所獲得的利潤(rùn)分別是1萬(wàn)元,2萬(wàn)元,3萬(wàn)元,F(xiàn)甲乙兩人從該汽車經(jīng)銷商處,采用上述分期付款方式各購(gòu)買此品牌汽車一輛。以這100 位客戶所采用的分期付款方式的頻率代替1位客戶采用相應(yīng)分期付款方式的概率。
(Ⅰ)求甲乙兩人采用不同分期付款方式的概率;
(Ⅱ)記(單位:萬(wàn)元)為該汽車經(jīng)銷商從甲乙兩人購(gòu)車中所獲得的利潤(rùn),求的分布列和期望。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某項(xiàng)考試按科目A、科目B依次進(jìn)行,只有當(dāng)科目A成績(jī)合格時(shí),才可繼續(xù)參加科目B的考試.已知每個(gè)科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì),兩個(gè)科目成績(jī)均合格方可獲得證書.現(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試,科目A每次考試成績(jī)合格的概率均為,科目B每次考試成績(jī)合格的概率均為.假設(shè)各次考試成績(jī)合格與否均互不影響.
(1)求他不需要補(bǔ)考就可獲得證書的概率;
(2)在這項(xiàng)考試過(guò)程中,假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會(huì),記他參加考試的次數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望E.
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