Question

如圖，在直角坐標系中，O為坐標原點，直線⊥x軸于點C， ，,動點到直線的距離是它到點D的距離的2倍 

（I）求點的軌跡方程；

（II）設(shè)點K為點的軌跡與x軸正半軸的交點,直線交點的軌跡于兩點（與點K均不重合）,且滿足  求直線EF在X軸上的截距；

（Ⅲ）在（II）的條件下，動點滿足,求直線的斜率的取值范圍 

Answer 1

（Ⅰ）動點M的軌跡方程為：；（Ⅱ）直線EF在X軸上的截距為    ；（Ⅲ）。

解析:

（I）依題意知,點的軌跡是以點為焦點、直線為其相應準線,

離心率為的橢圓

設(shè)橢圓的長軸長為2a,短軸長為2b,焦距為2c,

又，，∴點在x軸上,且,則3，

解之得：,     

∴坐標原點為橢圓的對稱中心 

∴動點M的軌跡方程為：              

（II）設(shè),設(shè)直線的方程為（－２〈n〈2）,代入得

                     

, 

    

，K（2，0）,,

,

 

解得: (舍)      ∴ 直線EF在X軸上的截距為    

（Ⅲ）設(shè),由知, 

直線的斜率為             

當時,;

當時,,

時取“=”）或時取“=”），

                                 

綜上所述