如圖，在直角坐標(biāo)系中，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓G的離心率為
15
4
，左頂點(diǎn)為A（-4，0）．圓O′：(x-2)2+y2=
4
9

（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）過(guò)M（0，1）作圓O′的兩條切線交橢圓于E、F，判斷直線EF與圓的位置關(guān)系，并證明．
分析：（Ⅰ）利用橢圓G的離心率為
15
4
，左頂點(diǎn)為A（-4，0），建立方程，即可求得橢圓G的方程；
（Ⅱ）直線EF與圓O'的相切．設(shè)過(guò)點(diǎn)M（0，1）與圓相切的直線方程為：y-1=kx，由圓心到直線的距離等于半徑求k的值，與橢圓方程聯(lián)立，表示出E，F(xiàn)和坐標(biāo)，從而得到EF所在的直線的方程，再探討圓心到直線的距離和半徑的關(guān)系．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓G的離心率為
15
4
，左頂點(diǎn)為A（-4，0）
∴
c
a
=
15
4
，a=4
∴c=
15
，∴b=1
∴橢圓G的方程為
x2
16
+y2=1；
（Ⅱ）直線EF與圓O'的相切
設(shè)過(guò)點(diǎn)M（0，1）與圓O′：(x-2)2+y2=
4
9
相切的直線方程為：y-1=kx①
則
2
3
=
|2k+1|
1+k2
，即32k2+36k+5=0②，解得k1=
-9+
41
16
，k2=
-9-
41
16

把①代入橢圓方程，消去y可得（16k2+1）x2+32kx=0，則異于零的解為x=-
32k
16k2+1
設(shè)F（x1，k1x1+1），E（x2，k2x2+1），則x1=-
32k1
16k12+1
，x2=-
32k2
16k22+1
則直線FE的斜率為：kEF=
k1+k2
1-16k1k2
=
3
4

于是直線FE的方程為：y+
32k12
16k12+1
-1=
3
4
（x+
32k1
16k12+1
）即y=
3
4
x-
7
3
則圓心（2，0）到直線FE的距離d=
|
3
2
-
7
3
|
1+
9
16
=
2
3
，故結(jié)論成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要是通過(guò)圓和橢圓來(lái)考查直線和圓，直線和橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標(biāo)系中，射線OA：x-y=0（x≥0），OB：
3
x+3y=0（x≥0），
過(guò)點(diǎn)P（1，0）作直線分別交射線OA、OB于A、B點(diǎn)．
①當(dāng)AB的中點(diǎn)為P時(shí)，求直線AB的方程；
②當(dāng)AB的中點(diǎn)在直線y=
1
2
x上時(shí)，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，求：
（1）直線AB的一般式方程；
（2）AC邊上的高所在直線的斜截式方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y=6-x與y=
4x
(x＞0)的圖象相交于點(diǎn)A、B，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x1，y1），那么長(zhǎng)為x1，寬為y1的矩形面積和周長(zhǎng)分別為
4，12
4，12
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標(biāo)系中，A，B，C三點(diǎn)在x軸上，原點(diǎn)O和點(diǎn)B分別是線段AB和AC的中點(diǎn)，已知AO=m（m為常數(shù)），平面上的點(diǎn)P滿足PA+PB=6m．
（1）試求點(diǎn)P的軌跡C1的方程；
（2）若點(diǎn)（x，y）在曲線C1上，求證：點(diǎn)(
x
3
，
y
2
2
)一定在某圓C2上；
（3）過(guò)點(diǎn)C作直線l，與圓C2相交于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)N恰好是線段CM的中點(diǎn)，試求直線l的方程．

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