【題目】如圖,橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,其左焦點到點P(2,1)的距離為 ,不過原點O的直線l與C相交于A,B兩點,且線段AB被直線OP平分.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求△APB面積取最大值時直線l的方程.
【答案】
(1)解:由題意 ,解得: .
∴所求橢圓C的方程為: .
(2)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點為M
當(dāng)AB⊥x軸時,直線AB的方程為x=0,與不過原點的條件不符,故設(shè)AB的方程為y=kx+m(m≠0)
由 ,消元可得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0①
∴ ,
∴線段AB的中點M
∵M(jìn)在直線OP上,∴
∴k=﹣
故①變?yōu)?x2﹣3mx+m2﹣3=0,又直線與橢圓相交,
∴△>0,x1+x2=m,
∴|AB|=
P到直線AB的距離d=
∴△APB面積S= (m∈(﹣2 ,0)
令u(m)=(12﹣m2)(m﹣4)2,則
∴m=1﹣ ,u(m)取到最大值
∴m=1﹣ 時,S取到最大值
綜上,所求直線的方程為:
【解析】(1)由題意,根據(jù)離心率為 ,其左焦點到點P(2,1)的距離為 ,建立方程,即可求得橢圓C的方程;(2)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),線段AB的中點為M,當(dāng)AB⊥x軸時,直線AB的方程為x=0,與不過原點的條件不符,故設(shè)AB的方程為y=kx+m(m≠0)由 ,消元再利用韋達(dá)定理求得線段AB的中點M,根據(jù)M在直線OP上,可求|AB|,P到直線AB的距離,即可求得△APB面積,從而問題得解.
【考點精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸:,焦點在y軸:才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解我市特色學(xué)校的發(fā)展?fàn)顩r,某調(diào)查機(jī)構(gòu)得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù):
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
特色學(xué)校(百個) | 0.30 | 0.60 | 1.00 | 1.40 | 1.70 |
(Ⅰ)根據(jù)上表數(shù)據(jù),計算與的相關(guān)系數(shù),并說明與的線性相關(guān)性強(qiáng)弱(已知:,則認(rèn)為與線性相關(guān)性很強(qiáng);,則認(rèn)為與線性相關(guān)性一般;,則認(rèn)為與線性相關(guān)性較弱);
(Ⅱ)求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測我市2019年特色學(xué)校的個數(shù)(精確到個).
參考公式: ,,,,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場經(jīng)營一批進(jìn)價是30元/件的商品,在市場試銷中發(fā)現(xiàn),此商品銷售價元與日銷售量件之間有如下關(guān)系:
x | 45 | 50 |
y | 27 | 12 |
(1)確定與的一個一次函數(shù)關(guān)系式;
(2)若日銷售利潤為P元,根據(jù)(I)中關(guān)系寫出P關(guān)于的函數(shù)關(guān)系,并指出當(dāng)銷售單價為多少元時,才能獲得最大的日銷售利潤?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對某校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計,隨機(jī)抽取名學(xué)生作為樣本,得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
24 | ||
4 | 0.1 | |
2 | 0.05 | |
合計 | 1 |
(1)求出表中,及圖中的值;
(2)若該校高三學(xué)生有240人,試估計該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù);
(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人,求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓 的左右頂點分別為A,B,點P在橢圓上且異于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點.
(1)若直線AP與BP的斜率之積為 ,求橢圓的離心率;
(2)若|AP|=|OA|,證明直線OP的斜率k滿足|k|> .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書中,用如圖所示的三角形,解釋二項和的乘方規(guī)律.在歐洲直到1623年以后,法國數(shù)學(xué)家布萊士帕斯卡的著作(1655年)介紹了這個三角形,近年來,國外也逐漸承認(rèn)這項成果屬于中國,所以有些書上稱這是“中國三角形”,如圖.17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“萊布尼茨三角形”,如圖.在楊輝三角中,相鄰兩行滿足關(guān)系式:,其 中是行數(shù),.請類比上式,在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿足的關(guān)系式是__________.
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