Question

已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與兩定點(diǎn)F₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0）的距離之和等于2

3

．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C；
（Ⅱ）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，試判斷是否存在k值，使以AB為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)E？若存在求出這個(gè)k值，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓定義知P的軌跡為：以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓，求出a、b，即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．（Ⅱ）假設(shè)存在這樣的k值，通過(guò)

y=kx+2 x2+3y2-3=0

，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理以及判別式求解范圍，然后通過(guò)AE⊥BE，解得k，判斷結(jié)果即可．

解答： 解：（Ⅰ）由橢圓定義知P的軌跡為：以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓　…（2分）
易知c=

2

，2a=|PF1|+|PF2|=2

3

⇒a=

3

…（3分）
∴b=

a2-c2

=1…（4分）
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為C：

x2

3

+y2=1…（5分）
（Ⅱ）假設(shè)存在這樣的k值，由

y=kx+2 x2+3y2-3=0

得（1+3k²）x²+12kx+9=0
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0①…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x1+x2=- 12k 1+3k2 x1x2= 9 1+3k2

②…（8分）
而y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，…（9分）
要使以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E（-1，0），當(dāng)且僅當(dāng)AE⊥BE時(shí)，則

y1

x1+1

.

y2

x2+1

=-1，
即y₁•y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，
∴（k²+1）x₁x₂+2（k+1）（x₁+x₂）+5=0．③
將②式代入③整理得：(k2+1)

9

1+3k2

+(2k+1)

-12k

1+3k2

+5=0
解得k=

7

6

經(jīng)驗(yàn)證k=

7

6

使①成立
綜上可知，存在k=

7

6

，使得以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的方程綜合應(yīng)用，橢圓的方程的判斷軌跡方程的求解，韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．