【題目】已知函數(shù) ,其反函數(shù)為y=g(x).
(1)若g(mx2+2x+1)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)當(dāng)x∈[﹣1,1]時(shí),求函數(shù)y=[f(x)]2﹣2af(x)+3的最小值h(a);
(3)是否存在實(shí)數(shù)m>n>2,使得函數(shù)y=h(x)的定義域?yàn)閇n,m],值域?yàn)閇n2 , m2],若存在,求出m、n的值;若不存在,則說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:由函數(shù) ,可得其反函數(shù)為y= ,

因?yàn)? 定義域?yàn)镽,

即有mx2+2x+1>0恒成立,

所以 ,

解得m∈(1,+∞);


(2)解:令 ,

即有y=t2﹣2at+3=(t﹣a)2+3﹣a2,

當(dāng)a>2,區(qū)間[ ,2]為減區(qū)間,t=2時(shí),ymin=7﹣4a;

當(dāng) ≤a≤2,t=a時(shí),ymin=3﹣a2;

當(dāng)a< ,區(qū)間[ ,2]為增區(qū)間,t= 時(shí),ymin= ﹣a.

;


(3)解:h(x)=7﹣4x,x∈(2,+∞),且h(x)在x∈(2,+∞)上單調(diào)遞減.

所以 ,兩式相減得,

m+n=4,與m>n>2矛盾,

所以不存在m,n滿(mǎn)足條件


【解析】(1)求得g(x)= ,由定義域?yàn)镽,可得mx2+2x+1>0恒成立,即有m>0,判別式小于0,解不等式即可得到所求范圍;(2)令 ,即有y=t2﹣2at+3=(t﹣a)2+3﹣a2 , 討論對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間的關(guān)系,運(yùn)用單調(diào)性,即可得到所求最小值;(3)h(x)=7﹣4x,x∈(2,+∞),且h(x)在x∈(2,+∞)上單調(diào)遞減,可得h(n)=m2 , h(m)=n2 , 兩式相減,即可判斷.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識(shí),掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲;利用圖象求函數(shù)的最大(小)值;利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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