Question

對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），若存在常數(shù)M，使得對(duì)任意x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，滿(mǎn)足等式

1

2

[f（x₁）+f（x₂）=M，則稱(chēng)M為函數(shù)y=f（x）在D上的“J值”
（1）寫(xiě)出下列三個(gè)函數(shù)中“J值”的函數(shù)序號(hào)，并寫(xiě)出“J值”．

（2）已知函數(shù)f（x）=log

1

2

x在D=[

1

8

，2]上的“J”值為1，x₁，x₂∈D，且滿(mǎn)足“J值”概念，證明x₁•x₂為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)“J值”的函數(shù)的等價(jià)條件求出判斷函數(shù)的最大值和最小值即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）=log

1

2

x在D=[

1

8

，2]上的“J”值為1，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行證明即可．

解答： 解：（1）根據(jù)“J值”的函數(shù)的定義，若滿(mǎn)足是“J值”的函數(shù)，則函數(shù)應(yīng)該是對(duì)稱(chēng)函數(shù)，
①若函數(shù)滿(mǎn)足“J值”的函數(shù)，則M應(yīng)為函數(shù)最大值和最小值和的一半，
∵y=3^x在[0，1）上沒(méi)有最大值，故M不存在，不是“J值”的函數(shù)．
②y=-x+2，關(guān)于點(diǎn)（0，2）對(duì)稱(chēng)，則是“J值”的函數(shù)，且

1

2

[f（x₁）+f（x₂）=1，“J值”為1．
③y=sinx，關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱(chēng)，則是“J值”的函數(shù)，且

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=0，“J值”為0．
（2）若函數(shù)f（x）=log

1

2

x在D=[

1

8

，2]上的“J”值為1，x₁，x₂∈D，
則

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=1，即f（x₁）+f（x₂）=2，
則log

1

2

x₁+log

1

2

x₂=2，即log

1

2

（x₁x₂）=2，則x₁x₂=

1

4

為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的新定義的應(yīng)用，正確理解“J值”的函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．