【題目】已知函數(shù)，，．

（Ⅰ)若的圖像在處的切線過點，求的值并討論在上的單調增區(qū)間；

（Ⅱ）定義：若直線與曲線、都相切，則我們稱直線為曲線、的公切線．若曲線與存在公切線，試求實數(shù)的取值范圍．

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】【試題分析】(I)求出函數(shù)在處的切線方程,代入點求得的值.求出的表達式,對求導后對分類討論,由此求得函數(shù)的單調區(qū)間.(II)由出發(fā),設出其切點的橫坐標,求得切線方程,同理求得的切線方程,聯(lián)立這兩條切線方程可求得的表達式,構造函數(shù),利用導數(shù)證得有解,從而證得存在共切線.

【試題解析】

（Ⅰ）由，得．又，

故在的切線方程為．帶入，得

．從而，，．

①當時，，．故的單調增區(qū)間為；

②當，即時，，．故的單調增區(qū)間為；

③當，即時，由得，故的單調增區(qū)間為．

綜上，當時，的單調增區(qū)間為；當時，的單調增區(qū)間為．

（Ⅱ）設的切點橫坐標為，，

切線方程為……①

設的切點橫坐標為，，

切線方程為……②

聯(lián)立①②，得，消去得．

考慮函數(shù)，．

令，得或．

當或時，，函數(shù)在區(qū)間，上單調遞減，當且時，，函數(shù)在區(qū)間，上單調遞增．

，．故當時，方程有解，

從而，函數(shù)與存在公切線．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）在極坐標系下，設曲線與射線和射線分別交于，兩點，求的面積；

（2）在直角坐標系下，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線與曲線相交于，兩點，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的極值；

（2）若存在與函數(shù)的圖象都相切的直線，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】【2018甘肅蘭州市高三一診】已知圓： ，過且與圓相切的動圓圓心為．

（I）求點的軌跡的方程；

（II）設過點的直線交曲線于， 兩點，過點的直線交曲線于， 兩點，且，垂足為（， ， ， 為不同的四個點）．

①設，證明： ；

②求四邊形的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在北上廣深等十余大中城市，一款叫“一度用車”的共享汽車給市民們提供了一種新型的出行方式.2020年，懷化也將出現(xiàn)共享汽車，用戶每次租車時按行駛里程（1元/公里）加用車時間（0.1元/分鐘）收費，李先生家離上班地點10公里，每天租用共享汽車上下班，由于堵車因素，每次路上開車花費的時間是一個隨機變量，根據(jù)一段時間統(tǒng)計40次路上開車花費時間在各時間段內的情況如下：

時間（分鐘）

次數(shù)

8

14

8

8

2

以各時間段發(fā)生的頻率視為概率，假設每次路上開車花費的時間視為用車時間，范圍為分鐘.

（Ⅰ）若李先生上、下班時租用一次共享汽車路上開車不超過45分鐘，便是所有可選擇的交通工具中的一次最優(yōu)選擇，設是4次使用共享汽車中最優(yōu)選擇的次數(shù)，求的分布列和期望；

（Ⅱ）若李先生每天上下班使用共享汽車2次，一個月（以20天計算）平均用車費用大約是多少（同一時段，用該區(qū)間的中點值作代表）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面，為直角梯形，與相交于點，，，，三棱錐的體積為9.

(1)求的值；

(2)過點的平面平行于平面，與棱，，，分別相交于點，求截面的周長.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】

在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)，），在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程是，等邊的頂點都在上，且點，，依逆時針次序排列，點的極坐標為.

（1）求點，，的直角坐標；

（2）設為上任意一點，求點到直線距離的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，菱形與四邊形相交于，，平面，，，，為的中點，.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2017年12月，針對國內天然氣供應緊張的問題，某市政府及時安排部署，加氣站采取了緊急限氣措施，全市居民打響了節(jié)約能源的攻堅戰(zhàn).某研究人員為了了解天然氣的需求狀況，對該地區(qū)某些年份天然氣需求量進行了統(tǒng)計，并繪制了相應的折線圖.

（Ⅰ）由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合年度天然氣需示量 (單位：千萬立方米)與年份 (單位：年)之間的關系.并且已知關于的線性回歸方程是，試確定的值，并預測2018年該地區(qū)的天然氣需求量；

（Ⅱ）政府部門為節(jié)約能源出臺了《購置新能源汽車補貼方案》，該方案對新能源汽車的續(xù)航里程做出了嚴格規(guī)定，根據(jù)續(xù)航里程的不同，將補貼金額劃分為三類，A類：每車補貼1萬元，B類：每車補貼2.5萬元，C類：每車補貼3.4萬元.某出租車公司對該公司60輛新能源汽車的補貼情況進行了統(tǒng)計，結果如下表：

類型

類

類

類

車輛數(shù)目

10

20

30

為了制定更合理的補貼方案，政府部門決定利用分層抽樣的方式了解出租車公司新能源汽車的補貼情況，在該出租車公司的60輛車中抽取6輛車作為樣本，再從6輛車中抽取2輛車進一步跟蹤調查.若抽取的2輛車享受的補貼金額之和記為“”，求的分布列及期望.

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