Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分和兩種情況討論，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極值即可；

（2）當(dāng)時(shí)，由題即在上恒成立，令且，對(duì)分和兩種情況討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，推出結(jié)果.求解的取值范圍.

（1），.

①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；

②當(dāng)時(shí)，令，得.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

此時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上只有一個(gè)極值點(diǎn)；

（2）當(dāng)時(shí)，由題即在上恒成立，

令且，

則，

令，

則且.

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

由于，，而，

所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，

即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，

即在上恒成立，故符合題意；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

由于在上單調(diào)遞增，

令，因?yàn)?/span>，

故在上存在唯一的，使，

因此，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，

即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，與題意不符.

綜上所述，的取值范圍是.