Question

1．已知函數(shù)f（x）=a^x-xlna（a＞l），g（x）=b-$\frac{3{x}^{2}}{2}$，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)a=e，b=5時(shí)，求方程f（x）=g（x）的解的個(gè)數(shù)；
（2）若存在x₁，x₂∈[-l，1]使得f（x₁）+g（x₂）+$\frac{1}{2}$≥f（x₂）=g（x₁）+e成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[注：（a^x）′=a^xlna]．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）=a^x-xlna+$\frac{3}{2}$x²-b，從而代入a=e，b=5得F（x）=e^x-x+$\frac{3}{2}$x²-5，F(xiàn)′（x）=e^x-1+3x；從而由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得F（x）在（1，2），（-2，-1）內(nèi)分別有一個(gè)零點(diǎn)．
（2）原題意可化為存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得[f（x₁）-g（x₁）]-[f（x₂）-g（x₂）]≥e-$\frac{1}{2}$；即存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得F（x₁）-F（x₂）≥e-$\frac{1}{2}$；從而化為F（x）max-F（x）min≥e-$\frac{1}{2}$，x∈[-1，1]；從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)F（x）的最值問(wèn)題，求導(dǎo)可得F′（x）=a^xlna-lna+3x=3x+（a^x-1）lna；從而由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得F（x）min=F（0）=1-b，F(xiàn)（x）max=max{F（-1），F(xiàn)（1）}；再比較F（-1），F(xiàn)（1）的大小可得F（1）＞F（-1）；從而化為F（1）-F（0）≥e-$\frac{1}{2}$；從而可得a-lna≥e-lne，從而解得．

解答 解：（1）令F（x）=f（x）-g（x）=a^x-xlna+$\frac{3}{2}$x²-b，
當(dāng)a=e，b=5時(shí)，F(xiàn)（x）=e^x-x+$\frac{3}{2}$x²-5，F(xiàn)′（x）=e^x-1+3x；
當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，則F（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，則F（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；
而F（0）=-4，F(xiàn)（1）=e-$\frac{9}{2}$＜0，F(xiàn)（2）=e²-1＞0，
F（-1）=$\frac{1}{e}-\frac{5}{2}$＜0，F(xiàn)（-2）=$\frac{1}{{e}^{2}}$+2＞0；
又∵F（x）在（1，2），（-2，-1）上分別連續(xù)且單調(diào)，
∴F（x）在（1，2），（-2，-1）內(nèi)分別有一個(gè)零點(diǎn)，
即方程f（x）=g（x）在區(qū)間（1，2），（-2，-1）內(nèi)各有一個(gè)解；
綜上所述，方程f（x）=g（x）有兩解．
（2）若存在x₁，x₂∈[-1，1]使得f（x₁）+g（x₂）+$\frac{1}{2}$≥f（x₂）+g（x₁）+e成立，
即存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得[f（x₁）-g（x₁）]-[f（x₂）-g（x₂）]≥e-$\frac{1}{2}$；
即存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得F（x₁）-F（x₂）≥e-$\frac{1}{2}$；
即F（x）max-F（x）min≥e-$\frac{1}{2}$，x∈[-1，1]；
F′（x）=a^xlna-lna+3x=3x+（a^x-1）lna；
①當(dāng)x＞0時(shí)，由a＞1得a^x-1＞0，lna＞0，故F′（x）＞0；
②當(dāng)x=0時(shí)，F(xiàn)′（x）=0；
③當(dāng)x＜0時(shí)，由a＞1得a^x-1＜0，lna＞0，故F′（x）＜0；
則F（x）在[-1，0]上為減函數(shù)，[0，1]上為增函數(shù)；
故F（x）min=F（0）=1-b；
F（x）max=max{F（-1），F(xiàn)（1）}；
而F（1）-F（-1）=a-$\frac{1}{a}$-2lna（a＞1）；
設(shè)h（a）=a-$\frac{1}{a}$-2lna（a＞0），
則h′（a）=1+$\frac{1}{{a}^{2}}$-2$\frac{1}{a}$=（$\frac{1}{a}$-1）²≥0，
（當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，等號(hào)成立）
∴h（a）在（0，+∞）上為增函數(shù)，而h（1）=0；
故當(dāng)a＞1時(shí)，h（a）＞h（1）=0；
∴F（1）＞F（-1）；
故F（1）-F（0）≥e-$\frac{1}{2}$；
化簡(jiǎn)可得，a-lna≥e-lne，
且易知m（a）=a-lna在（1，+∞）上是增函數(shù)，
故a≥e；
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[e，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及存在性命題，同時(shí)考查了分類討論的思想及函數(shù)零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，屬于難題．