Question

14．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，Q是棱PA上的動點．
（1）若Q是PA的中點，求證：PC∥平面BDQ；
（2）若PB=PD，求證：BD⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （1）連接AC交BD于O，由底面ABCD是菱形，可得O為AC的中點，又Q是PA的中點，得OQ∥PC，由線面平行的判定得PC∥平面BDQ；
（2）由底面ABCD是菱形，得BD⊥AC，結(jié)合PB=PD，得PO⊥BD，由線面垂直的判定得BD⊥平面PAC．

解答 證明：（1）如圖，
連接AC交BD于O，∵底面ABCD是菱形，
∴O為AC的中點，連接QO，
∵Q是PA的中點，∴OQ∥PC，
又PC?平面BDQ，OQ?平面BDQ，
∴PC∥平面BDQ；
（2）∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
又PB=PD，O為BD的中點，∴PO⊥BD，
又PO∩AC=O，
∴BD⊥平面PAC．

點評 本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．