Question

13．（1）求函數(shù)y=x-2-$\sqrt{2x-1}$的值域；
（2）求函數(shù)f（x）=2x²-2ax+3在[-1，1]的最小值g（a）．

Answer 1

分析 （1）換元，利用配方法，可得函數(shù)y=x-2-$\sqrt{2x-1}$的值域；
（2）配方，分類討論，即可求函數(shù)f（x）=2x²-2ax+3在[-1，1]的最小值g（a）．

解答 解：（1）令t=$\sqrt{2x-1}$，則x=$\frac{{t}^{2}+1}{2}$，t≥0
∴y=$\frac{{t}^{2}+1}{2}$-2-t=$\frac{1}{2}（t-1）^{2}-2$，
∵函數(shù)y=$\frac{1}{2}（t-1）^{2}-2$，在區(qū)間[0，1]為減函數(shù)，（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴y≥-2，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇-2，+∞）；
（2）由f（x）=2x²-2ax+3知，函數(shù)的對(duì)稱軸為x=$\frac{a}{2}$，
當(dāng)$\frac{a}{2}$≤-1時(shí)，即a≤-2時(shí)，g（a）=f（-1）=2a+5；
當(dāng)-1＜$\frac{a}{2}$＜1，即-2＜a＜2時(shí)，g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=3-$\frac{{a}^{2}}{2}$；
當(dāng)$\frac{a}{2}$≥1，即a≥2時(shí)，g（a）=f（1）=5-2a；
綜上，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{2a+5，a≤-2}\\{3-\frac{{a}^{2}}{2}，-2＜a＜2}\\{5-2a，a≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確換元、分類討論是關(guān)鍵．