Question

已知△ABC的三邊長為 a、b、c，且其中任意兩邊長均不相等．若a、b、c成等差數(shù)列．
（1）比較

b a

與

c b

的大小，并證明你的結論；
（2）求證B不可能是鈍角．

Answer 1

考點：反證法,不等式比較大小

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）由條件可得2b=a+c，利用基本不等式可得 b²≥ac．再根據(jù)

b a

c b

=

b2 ac

≥

ac ac

=1，可得

b a

和

c b

 的大小關系．
（2）由條件得到2b=a+c，再由余弦定理表示出cosB，兩式聯(lián)立消去b，得到關于a與c的關系式，整理后利用基本不等式變形，可得出cosB的范圍，利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)B為三角形的內(nèi)角，即可求出B的范圍．

解答： 解：（1）∵△ABC的三邊a，b，c成等差數(shù)列，∴2b=a+c，∴b=

a+c

2

≥

ac

，∴b²≥ac．
再根據(jù)

b a

c b

=

b2 ac

≥

ac ac

=1，可得

b a

≥

c b

．
（2）△ABC的三邊a，b，c成等差數(shù)列，∴2b=a+c，
再根據(jù) cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3(a2+c2)

8ac

-

1

4

≥

6ac

8ac

-

1

4

=

1

2

，
∴B∈[0，

π

3

]，∴B不可能是鈍角．

點評：此題考查了余弦定理，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關鍵，屬于基礎題．