Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象在x=e處的切線方程；
（Ⅱ）設實數(shù)a＞0，求函數(shù)F（x）=

f(x)

a

在[a，2a]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，由f（e）=e，k=f′（e）=2，從而求出曲線的方程；
（Ⅱ）先求出函數(shù)的導數(shù)，得出函數(shù)的單調區(qū)間，通過討論a的范圍，從而求出函數(shù)的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx+1，
∵f（e）=e又∵k=f′（e）=2
∴函數(shù)y=f（x）的在x=e處的切線方程為：y=2（x-e）+e，即y=2x-e．
（Ⅱ）F′（x）=

1

a

（lnx+1），
令F′（x）=0得x=

1

e

當x∈（0，

1

e

），F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調遞減，
當x∈（

1

e

，+∞），F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調遞增．
當a≥

1

e

時，F(xiàn)（x）在（0，2a）遞增，F(xiàn)（x）_min=F（a）=lna，
當a＜

1

e

＜2a，即

1

2e

＜a＜

1

e

時，F(xiàn)（x）_min=F（

1

e

）=-

1

ae

，
當2a≤

1

e

即0＜a≤

1

2e

時，
F（x）在[a，2a]遞減，F(xiàn)（x）_min=F（2a）=2ln（2a）．

點評：本題考查了函數(shù)的單調性，函數(shù)的最值問題，考查導的應用，考查分類討論思想，是一道中檔題．