Question

已知函數(shù)f(x)=ax+

1

x

(a＞0)
（1）當(dāng)a=1時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在（0，1]內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)f（x）≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先任意取兩個(gè)變量，且界定其大小，再作差變形看符號(hào)，注意變形到等價(jià)且到位．
（2）先化簡不等式，f（x）＞0，再由分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化整式不等式ax²-x+1≥0恒成立，然后采用分離常數(shù)法求實(shí)數(shù)a的取值范圍即可．

解答：解：（1）任意取x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₂．
f(x1)-f(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)=(x1-x2)

x1x2-1

x1x2

因?yàn)閤₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0
0＜x₁x₂＜1，所以x₁x₂-1＜0
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（ 0，1]上是單調(diào)減函數(shù)．
（2）∵x∈（0，+∞），f（x）=ax+

1

x

= 

ax2+1

x

≥1恒成立，
等價(jià)于當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)ax²-x+1≥0恒成立即可，
∴a≥

x-1

x2

在x∈（0，+∞）恒成立 又

1

x

∈（0，+∞），
令g（x）=

x-1

x2

=-（

1

x

）²+

1

x

=-（

1

x

-

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

∴a≥

1

4

故a的取值范圍[

1

4

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題對(duì)學(xué)生的程度要求比較高，有一定的難度，主要考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，及不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．