Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin（ωx+φ）+2sin²

ωx+φ

2

-1（ω＞0，0＜φ＜π）為奇函數(shù)，且相鄰兩對稱軸間的距離為

π

2

．
（1）當x∈（-

π

2

，

π

4

）時，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象沿x軸方向向右平移

π

6

個單位長度，再把橫坐標縮短到原來的

1

2

（縱坐標不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象．當x∈[-

π

12

，

π

6

]時，求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

考點：二倍角的正弦,兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）f（x）=2sin（ωx+φ+

π

6

），利用函數(shù)是奇函數(shù)，0＜φ＜π，且相鄰兩對稱軸間的距離為

π

2

，即可求出當x∈（-

π

2

，

π

4

）時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得y=g（x），即可求出當x∈[-

π

12

，

π

6

]時，求函數(shù)g（x）的值域．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin（ωx+φ）+2sin²

ωx+φ

2

-1=

3

sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ+

π

6

）
∵函數(shù)是奇函數(shù)，0＜φ＜π
∴φ=-

π

6

，
∴f（x）=2sinωx，
∵相鄰兩對稱軸間的距離為

π

2

，
∴

2π

ω

=π，
∴ω=2，
∴f（x）=2sin2x，
∵x∈（-

π

2

，

π

4

），
∴2x∈（-π，

π

2

），
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-

π

2

，-

π

4

）；
（2）由題意，g（x）=2sin（x-

π

3

）．
當x∈[-

π

12

，

π

6

]時，x-

π

3

∈[-

5

12

π，-

π

6

]，
∴函數(shù)g（x）的值域為[-

2 + 6

2

，-1]．

點評：本題主要考查誘導公式的應用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．