Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ）若直線y=kx+1與函數(shù)y=lnx的圖象相切，求實數(shù)k的值．
（Ⅱ）設x＞0，討論曲線y=f（x）與曲線y=mx²（m＞0）公共點的個數(shù)．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,分類討論,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）設出切點，求出lnx的導數(shù)，求出切線的斜率，列出方程組，求出x₀，k；
（Ⅱ）由條件轉化為方程f（x）=mx²的根的個數(shù)，分離出參數(shù)m=

ex

x2

，令h（x）=

ex

x2

，求出h′（x），求出單調(diào)區(qū)間，求出極值，即為最值，根據(jù)圖象討論m的取值即可得到公共點的個數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）設直線y=kx+1與函數(shù)y=g（x）=lnx的圖象相切于點P（x₀，y₀），
則kx₀+1=lnx₀．且k=g′（x₀）=

1

x0

，
即有l(wèi)nx₀=2，x₀=e²，k=e-2；
（Ⅱ）當x＞0，m＞0時，曲線f（x）=e^x與曲線y=mx²（m＞0）的公共點的個數(shù)，
即方程f（x）=mx²的根的個數(shù)．
由f（x）=mx²即m=

ex

x2

，h′（x）=

ex(x-2)

x3

，
則h（x）在（0，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增，
∴h（2）是h（x）的極小值即為最小值，且為

e2

4

．
∴對曲線y=f（x）與曲線y=mx²（m＞0）的公共點的個數(shù)，
討論如下：
當m∈（0，

e2

4

），有0個公共點；
當m=

e2

4

時，有1個公共點；
當m∈（

e2

4

，+∞），有2個公共點．

點評：本題主要考查導數(shù)的綜合運用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、求極值和最值，同時考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．