Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的圖象與直線y=b（0＜b＜1）的三個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為2，4，8，與直線y=-b的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，若2＜x₁＜x₂＜8，則f（x₁）+f（x₂）的值為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：三角函數(shù)的圖象與直線y=b（0＜b＜1）的三個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是2，4，8，至少提供兩個(gè)方面的信息：
1，第一個(gè)交點(diǎn)與第三個(gè)交點(diǎn)的差是一個(gè)周期；
2，第一個(gè)交點(diǎn)與第二個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是最大值或最小值．
從這兩個(gè)方面考慮可求得參數(shù)ω，φ．進(jìn)而利用三角函數(shù)的單調(diào)性求區(qū)間．

解答： 解：與直線y=b（0＜b＜A）的三個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是2，4，8
∵ω＞0，∴函數(shù)的周期為T(mén)=

2π

ω

=8-2，得?=

π

3

，
再由三角函數(shù)的圖象與直線y=b（0＜b＜1）
知：2與4的中點(diǎn)必為函數(shù)的最大值的橫坐標(biāo)，
由五點(diǎn)法知

π

3

×3+φ=

π

2

得φ=-

π

2

，
故：f（x）=sin（

π

3

x-

π

2

），
所以可得，f（x₁）+f（x₂）的值為-2b．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正如華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”．這題就充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的重要性．