Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=2a_n+（-1）ⁿ；
（1）求a₁的值．
（2）令

an

2n

=b_n，求證：數(shù)列{b_n-b_n-1}（n≥2）是等比數(shù)列；
（3）求證：對任意正整數(shù)m＞4，有

1

a4

+

1

a5

+

1

a6

+…+

1

am

＜

7

8

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應用

分析：（1）直接在數(shù)列遞推式S_n=2a_n+（-1）ⁿ中取n=1求得首項a₁=1；
（2）由S_n=2a_n+（-1）ⁿ，得Sn-1=2an-1+(-1)n-1，兩式作差后整理得b_n-b_n-1=

2•(-1)n+1

2n

=

(-1)n+1

2n-1

，再由等比數(shù)列的定義證得數(shù)列{b_n-b_n-1}（n≥2）是等比數(shù)列；
（3）由已知得：an=2an-1+2(-1)n-1，得到數(shù)列{an+

2

3

(-1)n}是以a1-

2

3

為首項，公比為2的等比數(shù)列，由此求出數(shù)列{a_n}的通項公式，代入

1

a4

+

1

a5

+

1

a6

+…+

1

am

后利用放縮法轉化為等比數(shù)列求和得答案．

解答： （1）解：由S_n=2a_n+（-1）ⁿ，得S1=2a1+(-1)1，解得a₁=1；
（2）證明：由S_n=2a_n+（-1）ⁿ，得Sn-1=2an-1+(-1)n-1，
兩式作差得：an=2an-2an-1+(-1)n•2，即an=2an-1+2•(-1)n+1，
則b_n-b_n-1=

an

2n

-

an-1

2n-1

=

an-2an-1

2n

=

2•(-1)n+1

2n

=

(-1)n+1

2n-1

，
由

bn+1-bn

bn-bn-1

=

(-1)n+2 2n

(-1)n+1 2n-1

=-2，得數(shù)列{b_n-b_n-1}（n≥2）是等比數(shù)列；
（3）證明：由已知得：a_n=S_n-S_n-1=2an+(-1)n-2an-1-(-1)n-1，
化簡得：an=2an-1+2(-1)n-1，
可化為：an+

2

3

(-1)n=2[an-1+

2

3

(-1)n-1]，
故數(shù)列{an+

2

3

(-1)n}是以a1-

2

3

為首項，公比為2的等比數(shù)列，
故an+

2

3

(-1)n=

1

3

•2n-1，
an=

1

3

•2n-1-

2

3

(-1)n=

2

3

[2n-2-(-1)n]，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為：an=

2

3

[2n-2-(-1)n]．

1

a4

+

1

a5

+

1

a6

+…+

1

am

=

3

2

[

1

22-1

+

1

23+1

+…+

1

2m-2-(-1)m

]
=

3

2

[

1

3

+

1

9

+

1

15

+

1

33

+

1

63

+…+

1

2m-2-(-1)m

]
=

1

2

[1+

1

3

+

1

5

+

1

11

+

1

21

+…]＜

1

2

[1+

1

3

+

1

5

+

1

10

+…]
=

1

2

[

4

3

+

1 5 (1- 1 2m-5 )

1- 1 2

]=

1

2

[

4

3

+

2

5

-

2

5

•

1

2m-5

]
=

13

15

-

1

5

•(

1

2

)m-5＜

13

15

=

104

120

＜

105

120

=

7

8

．
故有

1

a4

+

1

a5

+

1

a6

+…+

1

am

＜

7

8

．

點評：本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關系的確定，考查了等比數(shù)列的前n項和，訓練了放縮法證明數(shù)列不等式，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，屬難題．