Question

【題目】某園林公司準備綠化一塊半徑為200米，圓心角為 的扇形空地（如圖的扇形OPQ區(qū)域），扇形的內接矩形ABCD為一水池，其余的地方種花，若∠COP=α，矩形ABCD的面積為S（單位：平方米）．
（1）試將S表示為關于α的函數(shù)，求出該函數(shù)的表達式；
（2）角α取何值時，水池的面積 S最大，并求出這個最大面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△OBC中，OB=200cosα，BC=200sinα

在Rt△OAD中， ，

∴OA=DA=BC=200sinα

∴AB=OB﹣OA=200cosα﹣200sinα，

故S=ABBC=（200cosα﹣200sinα）200sinα

=40000sinαcosα﹣40000sin2α=20000sin2α﹣20000（1﹣cos2α）

=20000（sin2α+cos2α）﹣20000

= ，

（2）解：由 ，得 ，

所以當 ，即 時，

S最大=

因此，當 時，水池的面積S最大，最大面積為 平方米

【解析】（1）在Rt△OBC中，OB=200cosα，BC=200sinα ，求出BC=200sinα，AB=200cosα﹣200sinα，得到S= ， 即可．（2）利用三角函數(shù)的最值，求解 時，水池的面積S最大，最大面積為 平方米．