Question

【題目】已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，其離心率為，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)重合．

（1）求橢圓的方程

（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，試問：在平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得無論如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以為直徑的圓恒過點(diǎn)，若存在，說出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）定點(diǎn)

【解析】

試題分析：（1）先設(shè)處橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率求的a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求得c，進(jìn)而求得a，則b可得，進(jìn)而求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是，若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是．聯(lián)立兩個(gè)圓的方程求得其交點(diǎn)的坐標(biāo)，推斷兩圓相切，進(jìn)而可判斷因此所求的點(diǎn)T如果存在，只能是這個(gè)切點(diǎn)．證明時(shí)先看直線l垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（1，0）．再看直線l不垂直于x軸，可設(shè)出直線方程，與圓方程聯(lián)立消去y，記點(diǎn)A ，B ，根據(jù)韋達(dá)定理求得和的表達(dá)式，代入的表達(dá)式中，求得，進(jìn)而推斷TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（1，0）．

試題解析：（1）拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則橢圓的焦點(diǎn)在軸上

設(shè)橢圓方程為

由題意可得，，，

∴ 橢圓方程為 ……3分

（2）若直線與軸重合，則以為直徑的圓是，

若直線垂直于軸，則以為直徑的圓是

由即兩圓相切于點(diǎn) ……5分因此所求的點(diǎn)如果存在，只能是，事實(shí)上，點(diǎn)就是所求的點(diǎn). ……6分

證明：當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，以為直徑的圓過點(diǎn)，若直線不垂直于軸，

可設(shè)直線： 設(shè)點(diǎn)，

由， ∴ ……9分

又 , ,

∴

……11分

∴ 即： 故以為直徑的圓恒過點(diǎn).

綜上可知：在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)滿足條件. ……12分