【題目】已知函數(shù),其中a >2.
(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(II)若對(duì)于任意的,恒有,求a的取值范圍.
(III)設(shè),,求證:.
【答案】(1)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為(1,a-1).(2)(2,5];(3)見(jiàn)解析.
【解析】分析:(I)求出,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間,求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;;(II)對(duì)任意的,恒有,等價(jià)于,令,即函數(shù)在上為增函數(shù),,∴恒成立,結(jié)合基本不等式,即可求實(shí)數(shù)的取值范圍;(III) 由(I)可知當(dāng)時(shí),函數(shù)為減函數(shù), ,由(II)知,即可證明結(jié)論.
詳解:(I)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>
令,則,即
解得或 ∵ ∴
由,解得0<x<1或x>a-1,
由,解得1<x<a-1
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為(1,a-1).
(II)設(shè),則不等式等價(jià)于·
整理得,
令
∴函數(shù)g(x)在x∈(0,+∞)上為增函數(shù).
∵,∴恒成立
而
∴ ∵a>2 ∴
∴,即a的取值范圍是(2,5].
(III)∵ 由(I)可知當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)為減函數(shù),
而
那么 ∴
由(II)知
∴
即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓,點(diǎn),是圓上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在線(xiàn)段上,點(diǎn)在半徑上,且滿(mǎn)足.
(1)當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與軌跡交于點(diǎn)(不在軸上),垂直于的直線(xiàn)交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),若,求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖,試根據(jù)獎(jiǎng)杯的三視圖計(jì)算它的表面積和體積(可用計(jì)算工具,尺寸如圖,單位:cm,π取3.14,結(jié)果取整數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線(xiàn),斜率為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于,兩點(diǎn),當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí),以為直徑的圓與直線(xiàn)相切.
(1)求拋物線(xiàn)的方程;
(2)與平行的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于,兩點(diǎn),若平行線(xiàn),之間的距離為,且的面積是面積的倍,求和的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓C:的左、右焦點(diǎn)分別為、,上頂點(diǎn)為A,在x軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)B,滿(mǎn)足為線(xiàn)段的中點(diǎn),且AB⊥。
(I)求橢圓C的離心率;
(II)若過(guò)A、B、三點(diǎn)的圓與直線(xiàn):相切,求橢圓C的方程;
(III)在(I)的條件下,過(guò)右焦點(diǎn)作斜率為k的直線(xiàn)與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),在x軸上是否存在點(diǎn)P(m,0)使得以PM,PN為鄰邊的平行四邊形是菱形?如果存在,求出m的取值范圍;如果不存在,說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司共有60位員工,為提高員工的業(yè)務(wù)技術(shù)水平,公司擬聘請(qǐng)專(zhuān)業(yè)培訓(xùn)機(jī)構(gòu)進(jìn)行培訓(xùn).培訓(xùn)的總費(fèi)用由兩部分組成:一部分是給每位參加員工支付400元的培訓(xùn)材料費(fèi);另一部分是給培訓(xùn)機(jī)構(gòu)繳納的培訓(xùn)費(fèi).若參加培訓(xùn)的員工人數(shù)不超過(guò)30人,則每人收取培訓(xùn)費(fèi)1000元;若參加培訓(xùn)的員工人數(shù)超過(guò)30人,則每超過(guò)1人,人均培訓(xùn)費(fèi)減少20元.設(shè)公司參加培訓(xùn)的員工人數(shù)為x人,此次培訓(xùn)的總費(fèi)用為y元.
(1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)請(qǐng)你預(yù)算:公司此次培訓(xùn)的總費(fèi)用最多需要多少元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
某建筑公司用8000萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地,計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少12層、每層4000平方米的樓房.經(jīng)初步估計(jì)得知,如果將樓房建為x(x12)層,則每平方米的平均建筑費(fèi)用為Q(x)=3000+50x(單位:元).為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少,該樓房應(yīng)建為多少層?每平方米的平均綜合費(fèi)最小值是多少?
(注:平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用,平均購(gòu)地費(fèi)用=)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,且對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有(且)成立.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)討論在上的單調(diào)性,并用定義加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某品牌汽車(chē)的店,對(duì)最近100份分期付款購(gòu)車(chē)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)情況如下表所示.已知分9期付款的頻率為0.4;該店經(jīng)銷(xiāo)一輛該品牌汽車(chē),若顧客分3期付款,其利潤(rùn)為1萬(wàn)元;分6期或9期付款,其利潤(rùn)為2萬(wàn)元;分12期付款,其利潤(rùn)為3萬(wàn)元.
付款方式 | 分3期 | 分6期 | 分9期 | 分12期 |
頻數(shù) | 20 | 20 |
(1)若以上表計(jì)算出的頻率近似替代概率,從該店采用分期付款購(gòu)車(chē)的顧客(數(shù)量較大)中隨機(jī)抽取3為顧客,求事件:“至多有1位采用分6期付款“的概率;
(2)按分層抽樣方式從這100為顧客中抽取5人,再?gòu)某槿〉?人中隨機(jī)抽取3人,記該店在這3人身上賺取的總利潤(rùn)為隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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