Question

【題目】如圖所示多面體中，AD⊥平面PDC，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E，F分別為AD，BP的中點(diǎn)，AD＝3，AP＝3，PC．

（1）求證：EF//平面PDC；

（2）若∠CDP＝120°，求二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)為，連結(jié)，，四邊形是平行四邊形，，平面．

（2）由余弦定理求出，以為原點(diǎn)，在平面內(nèi)過(guò)作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．

解：（1）證明：取的中點(diǎn)為，連結(jié)，，

，分別為、的中點(diǎn)，

，且，

又四邊形為平行四邊形，，且，

，且，四邊形是平行四邊形，

，平面，平面，

平面．

（2）平面，四邊形為平行四邊形，

點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，，

．，

，解得，

如圖，以為原點(diǎn)，在平面內(nèi)過(guò)作的垂線為軸，

為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則， ， ，

， ， ，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，

，4，，，3，，

則，取，得，

平面的一個(gè)法向量，

設(shè)二面角的平面角為，

則．

二面角的平面角的余弦值為．