【題目】設數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn+1=a2Sn+a1 , 其中a2≠0.
(1)求證:{an}是首項為1的等比數(shù)列;
(2)若a2>﹣1,求證 ,并給出等號成立的充要條件.

【答案】
(1)證明:∵Sn+1=a2Sn+a1,①

∴Sn+2=a2Sn+1+a1,②

②﹣①可得:an+2=a2an+1

∵a2≠0,∴

∵Sn+1=a2Sn+a1,∴S2=a2S1+a1,∴a2=a2a1

∵a2≠0,∴a1=1

∴{an}是首項為1的等比數(shù)列;


(2)證明:當n=1或2時, 等號成立

設n≥3,a2>﹣1,且a2≠0,由(Ⅰ)知a1=1, ,所以要證的不等式可化為

(n≥3)

即證 (n≥2)

a2=1時,等號成立

當﹣1<a2<1時, 同為負;

當a2>1時, 同為正;

∴a2>﹣1且a2≠1時,( )( )>0,即

上面不等式n分別取1,2,…,n累加可得

綜上, ,等號成立的充要條件是n=1或2或a2=1.


【解析】(1)根據(jù)Sn+1=a2Sn+a1 , 再寫一式,兩式相減,即可證得{an}是首項為1的等比數(shù)列;(2)當n=1或2時, 等號成立,設n≥3,a2>﹣1,且a2≠0,由(1)知a1=1, ,所以要證的不等式可化為 (n≥3),即證 (n≥2),a2=1時,等號成立;再證明a2>﹣1且a2≠1時,( )( )>0,即可證得結論.
【考點精析】利用等比數(shù)列的前n項和公式和等比關系的確定對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知前項和公式:;等比數(shù)列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷.

練習冊系列答案
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打算觀看

不打算觀看

女生

20

b

男生

c

25

1)求出表中數(shù)據(jù)b,c;

2)判斷是否有99%的把握認為觀看2018年足球世界杯比賽與性別有關;

3)為了計算10人中選出9人參加比賽的情況有多少種,我們可以發(fā)現(xiàn)它與10人中選出1人不參加比賽的情況有多少種是一致的.現(xiàn)有問題:在打算觀看2018年足球世界杯比賽的同學中有5名男生、2名女生來自高三(5)班,從中推選5人接受校園電視臺采訪,請根據(jù)上述方法,求被推選出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率.

P(K2≥k0)

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

K0

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

附:

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特產(chǎn)種類

最滿意度

銷售額(萬元)

求銷量額關于最滿意度的相關系數(shù);

我們約定:銷量額關于最滿意度的相關系數(shù)的絕對值在以上(含)是線性相關性較強;否則,線性相關性較弱.如果沒有達到較強線性相關,則采取“末位淘汰”制(即銷售額最少的特產(chǎn)退出銷售),并求在剔除“末位淘汰”的特產(chǎn)后的銷量額關于最滿意度的線性回歸方程(系數(shù)精確到).

參考數(shù)據(jù):,,.

附:對于一組數(shù)據(jù).其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:,.線性相關系數(shù)

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