Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若且， .

（i）求實(shí)數(shù)的最大值；

（ii）證明不等式： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)， 由點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）（i）等價(jià)于，討論時(shí)、當(dāng)時(shí)兩種情況，排除不合題意的的值，即可得實(shí)數(shù)的最大值，（ii）當(dāng)時(shí)整理得，令，則，進(jìn)而可證原不等式.

試題解析：（1）由題意且，

∴，

又 ，

∴在點(diǎn)處的切線方程為即

（2）（i）由題意知，

設(shè)，

則，

設(shè)，

則，

（1）當(dāng)時(shí)，∵，∴，

∴在上單調(diào)遞增，又，

∴時(shí)， ，又，

∴，不符合題意.

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，

①若，即時(shí)， 恒成立，

即在恒成立，∴在上單調(diào)遞減又，

∴時(shí)， ， ， ，

時(shí)， ， ， ，符合題意.

②若，即時(shí)， 的對稱軸，

∴在上單調(diào)遞增，

∴時(shí)， ，

∴，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，

而，∴，不符合題意，

綜上所述.

（ii）由（i）知時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)整理得，

令，則，

∴，

∴，

∴，

即