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【題目】已知橢圓的離心率為,左、右焦點分別為、,為相圓上一點,軸交于,.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)過右焦點的直線交橢圓于、兩點若的中點為為原點,直線交直線于點.的最大值.

【答案】(I);(II)

【解析】

(Ⅰ)由題意得,通過平面幾何的知識,可以得到,根據,離心率為,結合,這樣可以求出,,進而求出橢圓的標準方程;

(II)直線與橢圓方程聯(lián)立,可以得到一個一元二次方程,設、,利用根與系數關系可以求出的坐標,以及的長度,求出直線的方程,求出的坐標,求出的長度表達式,求出 平方的表達式,用換元法、配方法,最后求出的最大值.

(I)連接,由題意得,所以的中位線,

又因為,所以,且

,得,,

故所求橢圓方程為.

(II)聯(lián)立,可得.

、,則,

所以為

所以的中點坐標為,

因此直線的方程為,從而點,,

,令,則

,

因此當,即取得最大值.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】如圖所示,在三棱錐PABCPA⊥平面ABC,D是棱PB的中點已知PA=BC=2,AB=4,CBAB,則異面直線PC,AD所成角的余弦值為

A.B.C.D.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】黨的十九大明確把精準脫貧作為決勝全面建成小康社會必須打好的三大攻堅戰(zhàn)之一,為堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn),某幫扶單位為幫助定點扶貧村扶貧. 此幫扶單位為了了解某地區(qū)貧困戶對其所提供的幫扶的滿意度,隨機調查了40個貧困戶,得到貧困戶的滿意度評分如下:

貧困戶編號

評分

貧困戶編號

評分

貧困戶編號

評分

貧困戶編號

評分

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

78

73

81

92

95

85

79

84

63

86

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

88

86

95

76

97

78

88

82

76

89

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

79

83

72

74

91

66

80

83

74

82

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

93

78

75

81

84

77

81

76

85

89

用系統(tǒng)抽樣法從40名貧困戶中抽取容量為10的樣本,且在第一分段里隨機抽到的評分數據為92.

(1)請你列出抽到的10個樣本的評分數據;

(2)計算所抽到的10個樣本的均值和方差;

(3)在(2)條件下,若貧困戶的滿意度評分在之間,則滿意度等級為“級”.運用樣本估計總體的思想,現(xiàn)從(1)中抽到的10個樣本的滿意度為“級”貧困戶中隨機地抽取2戶,求所抽到2戶的滿意度均評分均“超過80”的概率.

(參考數據:

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】某文體局為了解“跑團”每月跑步的平均里程,收集并整理了2018年1月至2018年11月期間“跑團”每月跑步的平均里程(單位:公里)的數據,繪制了下面的折線圖.根據折線圖,下列結論正確的是( )

A. 月跑步平均里程的中位數為6月份對應的里程數

B. 月跑步平均里程逐月增加

C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月

D. 1月至5月的月跑步平均里程相對于6月至11月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知過原點的動直線與圓:相交于不同的兩點.

1)求圓的圓心坐標;

2)求線段的中點的軌跡的方程;

3)是否存在實數,使得直線:與曲線只有一個交點?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】有一個同學家開了一個小賣部,他為了研究氣溫對熱飲飲料銷售的影響,經過統(tǒng)計,得到一個賣出的熱飲杯數與當天氣溫的散點圖和對比表:

攝氏溫度

熱飲杯數

(1)從散點圖可以發(fā)現(xiàn),各點散布在從左上角到右下角的區(qū)域里。因此,氣溫與當天熱飲銷售杯數之間成負相關,即氣溫越高,當天賣出去的熱飲杯數越少。統(tǒng)計中常用相關系數來衡量兩個變量之間線性關系的強弱.統(tǒng)計學認為,對于變量、,如果,那么負相關很強;如果,那么正相關很強;如果,那么相關性一般;如果,那么相關性較弱。請根據已知數據,判斷氣溫與當天熱飲銷售杯數相關性的強弱.

(2)(i)請根據已知數據求出氣溫與當天熱飲銷售杯數的線性回歸方程;

(ii)記為不超過的最大整數,如.對于(i)中求出的線性回歸方程,將視為氣溫與當天熱飲銷售杯數的函數關系.已知氣溫與當天熱飲每杯的銷售利潤的關系是 (單位:元),請問當氣溫為多少時,當天的熱飲銷售利潤總額最大?

(參考公式),

(參考數據),, .

,,.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】某社區(qū)消費者協(xié)會為了解本社區(qū)居民網購消費情況,隨機抽取了100位居民作為樣本,就最近一年來網購消費金額(單位:千元),網購次數和支付方式等進行了問卷調査.經統(tǒng)計這100位居民的網購消費金額均在區(qū)間內,按,,,分成6組,其頻率分布直方圖如圖所示.

(1)估計該社區(qū)居民最近一年來網購消費金額的中位數;

(2)將網購消費金額在20千元以上者稱為“網購迷”,補全下面的列聯(lián)表,并判斷有多大把握認為“網購迷與性別有關系”;

合計

網購迷

20

非網購迷

45

合計

100

(3)調査顯示,甲、乙兩人每次網購采用的支付方式相互獨立,兩人網購時間與次數也互不. 影響.統(tǒng)計最近一年來兩人網購的總次數與支付方式,所得數據如下表所示:

網購總次數

支付寶支付次數

銀行卡支付次數

微信支付次數

80

40

16

24

90

60

18

12

將頻率視為概率,若甲、乙兩人在下周內各自網購2次,記兩人采用支付寶支付的次數之和為,求的數學期望.

附:觀測值公式:

臨界值表:

0.01

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知三棱錐P-ABC(如圖1)的展開圖如圖2,其中四邊形ABCD為邊長等于的正方形,ABEBCF均為正三角形,在三棱錐P-ABC.

1)證明:平面PAC⊥平面ABC;

2)若M,N分別是AP,BC的中點,請判斷三棱錐M-BCP和三棱錐N-APC體積的大小關系并加以證明.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】為迎接2022年冬奧會,北京市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動,并在培訓結束后對學生進行了考核.記表示學生的考核成績,并規(guī)定為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓活動的效果,在參加培訓的學生中隨機抽取了30名學生的考核成績,并作成如下莖葉圖:

(Ⅰ)從參加培訓的學生中隨機選取1人,請根據圖中數據,估計這名學生考核優(yōu)秀的概率;

(Ⅱ)從圖中考核成績滿足的學生中任取2人,求至少有一人考核優(yōu)秀的概率;

(Ⅲ)記表示學生的考核成績在區(qū)間的概率,根據以往培訓數據,規(guī)定當時培訓有效.請根據圖中數據,判斷此次中學生冰雪培訓活動是否有效,并說明理由.

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