Question

【題目】定義：從數(shù)列中抽取項(xiàng)按其在中的次序排列形成一個(gè)新數(shù)列，則稱為的子數(shù)列；若成等差（或等比），則稱為的等差（或等比）子數(shù)列.

（1）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.

①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②數(shù)列是否存在等差子數(shù)列，若存在，求出等差子數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說明理由.

（2）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，證明：存在等比子數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）①；②見解析；（2）見證明

【解析】

（1）①先由得到，再由得到通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得出結(jié)果；

②假設(shè)從數(shù)列中抽3項(xiàng)成等差，則，根據(jù)等差子數(shù)列的概念，即可得出結(jié)論；

（2）先假設(shè)數(shù)列中存在3項(xiàng)，，成等比.設(shè)，則，故可設(shè)（與是互質(zhì)的正整數(shù)）.根據(jù)題意，得到需要，再由題中等比子數(shù)列的概念，即可得出結(jié)論.

解：（1）①因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，所以.

綜上可知：.

②假設(shè)從數(shù)列中抽3項(xiàng)成等差，

則，即，

化簡得：.

因?yàn)?/span>，所以，，且，都是整數(shù)，

所以為偶數(shù)，為奇數(shù)，所以不成立.

因此，數(shù)列不存在三項(xiàng)等差子數(shù)列.

若從數(shù)列中抽項(xiàng)，其前三項(xiàng)必成等差數(shù)列，不成立.

綜上可知，數(shù)列不存在等差子數(shù)列.

（2）假設(shè)數(shù)列中存在3項(xiàng)，，成等比.

設(shè)，則，故可設(shè)（與是互質(zhì)的正整數(shù)）.

則需滿足，

即需滿足，則需滿足.

取，則.

此時(shí)，

.

故此時(shí)成立.

因此數(shù)列中存在3項(xiàng)，，成等比，

所以數(shù)列存在等比子數(shù)列.