如圖，已知△OFQ的面積為S，且·＝1.設||＝c(c≥2)，S＝c.若以O為中心，F(xiàn)為一個焦點的橢圓經(jīng)過點Q，當||取最小值時，求橢圓的方程．

 

 

＝1

【解析】以O為原點，所在直線為x軸建立平面直角坐標系．設橢圓方程為＝1(a＞b＞0)，Q(x，y)．＝(c，0)，則＝(x－c，y)．∵||·y＝c，∴y＝.

又∵·＝c(x－c)＝1，∴x＝c＋.則||＝(c≥2)．

可以證明：當c≥2時，函數(shù)t＝c＋為增函數(shù)，

∴當c＝2時，||min＝，此時Q.將Q的坐標代入橢圓方程，得解得∴橢圓方程為＝1.

 

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如圖，正方形ABCD內(nèi)接于橢圓＝1(a＞b＞0)，且它的四條邊與坐標軸平行，正方形MNPQ的頂點M、N在橢圓上，頂點P、Q在正方形的邊AB上，且A、M都在第一象限．

(1)若正方形ABCD的邊長為4，且與y軸交于E、F兩點，正方形MNPQ的邊長為2.

①求證：直線AM與△ABE的外接圓相切；

②求橢圓的標準方程；

(2)設橢圓的離心率為e，直線AM的斜率為k，求證：2e2－k是定值．

 

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如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＝1(a>b>0)的左焦點為F，右頂點為A，動點M為右準線上一點(異于右準線與x軸的交點)，設線段FM交橢圓C于點P，已知橢圓C的離心率為，點M的橫坐標為.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設直線PA的斜率為k1，直線MA的斜率為k2，求k1·k2的取值范圍．

 

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橢圓＝1的焦點為F1、F2，點P為橢圓上的動點，當∠F1PF2為鈍角時，求點P的橫坐標x0的取值范圍．

 

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如圖，已知點A(－1，0)與點B(1，0)，C是圓x2＋y2＝1上的動點，連結BC并延長至D，使得CD＝BC，求AC與OD的交點P的軌跡方程．

 

 

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