Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=x•e^cosx（x∈[-π，π]）的圖象大致是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 判斷函數(shù)的奇偶性，排除選項，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的圖象即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=x•e^cosx（x∈[-π，π]）是奇函數(shù)，排除B，C，
當(dāng)x＞0時，函數(shù)f′（x）=e^cosx（1-xsinx），令e^cosx（1-xsinx）=0，可得xsinx=1，
當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時，$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}π}{8}$＜1，x=$\frac{π}{2}$時，$\frac{π}{2}sin\frac{π}{2}$＞1，
xsinx=1的一個零點x₁，在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）之間，x∈（0，x₁）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)，
當(dāng)x=$\frac{3π}{4}$時，$\frac{3π}{4}$sin$\frac{3π}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}π}{8}$＞1，x=π時，πsinπ=0＜1，
xsinx=1的令一個零點x₂，在（$\frac{3π}{4}$，π）之間，
x∈（x₁，x₂），f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)，
x∈（x₂，π），f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)，
所以排除C．
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)的圖象的判斷與應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，注意函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的判斷．