Question

6．若點P（x₀，y₀）是曲線y=xe^x上任意一點，則|x₀-y₀-4|的最小值為（　�。�

• A． 4
• B． $3\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由題可得所求最小值為曲線上P到直線x-y-4=0的距離的$\sqrt{2}$倍．求出函數(shù)的導數(shù)，由切線斜率為1，構造函數(shù)f（x）=e^x-$\frac{1}{x+1}$，求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，解方程可得切點，進而運用兩平行直線的距離公式可得最小值．

解答 解：|x₀-y₀-4|=$\frac{|{x}_{0}-{y}_{0}-4|}{\sqrt{2}}$•$\sqrt{2}$，
表示曲線上P到直線x-y-4=0的距離的$\sqrt{2}$倍．
設與直線x-y-4=0平行的直線x-y-t=0，與曲線相切，
由y=xe^x的導數(shù)為y′=（x+1）e^x，
由切線的斜率為1，可得（x+1）e^x=1，
可令f（x）=e^x-$\frac{1}{x+1}$，其導數(shù)為f′（x）=e^x+$\frac{1}{（x+1）^{2}}$＞0，
可得f（x）在（-1，+∞）遞增，
由f（0）=e⁰-1=0，
可得（x+1）e^x=1的根為x=0，
即有切點為（0，0），
可得t=0，
由平行直線的距離公式可得兩平行線的距離為$\frac{4}{\sqrt{2}}$，
則則|x₀-y₀-4|的最小值為4．
故選：A．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程，注意運用構造法，以及轉(zhuǎn)化思想，考查兩平行直線的距離公式，同時注意運用單調(diào)性解方程，考查運算能力，屬于中檔題．