【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+ax在點(diǎn)(t,f(t))處切線方程為y=2x﹣1
(1)求a的值
(2)若 ,證明:當(dāng)x>1時(shí),
(3)對(duì)于在(0,1)中的任意一個(gè)常數(shù)b,是否存在正數(shù)x0 , 使得: .
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)=lnx+ax的導(dǎo)數(shù)為f′(x)= +a,
在點(diǎn)(t,f(t))處切線方程為y=2x﹣1,
可得f′(t)= +a=2,f(t)=2t﹣1=lnt+at,
解得a=t=1;
(2)證明:由(1)可得f(x)=lnx+x,
要證當(dāng)x>1時(shí), ,
即證lnx>k(1﹣ )﹣1(x>1),
即為xlnx+x﹣k(x﹣3)>0,
可令g(x)=xlnx+x﹣k(x﹣3),g′(x)=2+lnx﹣k,
由 ,x>1,可得lnx>0,2﹣k≥0,
即有g(shù)′(x)>0,g(x)在(1,+∞)遞增,
可得g(x)>g(1)=1+2k≥0,
故當(dāng)x>1時(shí), 恒成立;
(3)解:對(duì)于在(0,1)中的任意一個(gè)常數(shù)b,
假設(shè)存在正數(shù)x0,使得: .
由ef(x0+1)﹣2x0﹣1+ x02=eln(x0+1)﹣x0+ x02=(x0+1)e﹣x0+ x02.
即對(duì)于b∈(0,1),存在正數(shù)x0,使得(x0+1)e﹣x0+ x02﹣1<0,
從而存在正數(shù)x0,使得上式成立,只需上式的最小值小于0即可.
令H(x)=(x+1)e﹣x+ x2﹣1,H′(x)=e﹣x﹣(x+1)e﹣x+bx=x(b﹣e﹣x),
令H′(x)>0,解得x>﹣lnb,令H′(x)<0,解得0<x<﹣lnb,
則x=﹣lnb為函數(shù)H(x)的極小值點(diǎn),即為最小值點(diǎn).
故H(x)的最小值為H(﹣lnb)=(﹣lnb+1)elnb+ ln2b﹣1= ln2b﹣blnb+b﹣1,
再令G(x)= ln2x﹣xlnx+x﹣1,(0<x<1),
G′(x)= (ln2x+2lnx)﹣(1+lnx)+1= ln2x>0,
則G(x)在(0,1)遞增,可得G(x)<G(1)=0,則H(﹣lnb)<0.
故存在正數(shù)x0=﹣lnb,使得 .
【解析】(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率和切點(diǎn),解方程可得a的值;(2)求出f(x)=lnx+x,要證原不等式成立,即證xlnx+x﹣k(x﹣3)>0,可令g(x)=xlnx+x﹣k(x﹣3),求出導(dǎo)數(shù),判斷符號(hào),可得單調(diào)性,即可得證;(3)對(duì)于在(0,1)中的任意一個(gè)常數(shù)b,假設(shè)存在正數(shù)x0 , 使得: .運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想可令H(x)=(x+1)e﹣x
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的半焦距為,左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,拋物線與橢圓交于兩點(diǎn),若四邊形是菱形,則橢圓的離心率是( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】規(guī)定記號(hào)“*”表示一種運(yùn)算,a*b=a2+ab,設(shè)函數(shù)f(x)=x*2,且關(guān)于x的方程f(x)=ln|x+1|(x≠﹣1)恰有4個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1 , x2 , x3 , x4 , 則x1+x2+x3+x4= .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=是奇函數(shù),g(x)=log2(2x+1)-bx是偶函數(shù).
(1)求a-b;
(2)若對(duì)任意的t∈[-1,2],不等式f(t2-2t-1)+f(2t2-k)<0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù), .
(1)當(dāng)時(shí), 在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),若函數(shù)在上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中.
(I)求證:AC⊥BD1;
(Ⅱ)是否存在直線與直線AA1,CC1,BD1都相交?若存在,請(qǐng)你在圖中畫出兩條滿足條件的直線(不必說明畫法及理由);若不存在,請(qǐng)說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: + =1(0<b<3)的左右焦點(diǎn)分別為E,F(xiàn),過點(diǎn)F作直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),若 且
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點(diǎn)O為原點(diǎn),圓D:(x﹣3)2+y2=r2(r>0)與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn),若直線PM,PN與x軸分別交于點(diǎn)R,S,求證:|OR||OS|為常數(shù).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】要得到函數(shù)y= cosx的圖象,只需將函數(shù)y= sin(2x+ )的圖象上所有的點(diǎn)的( )
A.橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍(縱坐標(biāo)不變),再向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度
B.橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度
C.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度
D.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com