Question

等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，a₁=3，前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}中，b₁=1，且b₂S₂=64，{ban}是公比為64的等比數(shù)列．
（1）求{a_n}與{b_n}；
（2）證明：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則d為正整數(shù)，a_n=3+（n-1）d，b_n=q^n-1，
依題意有

ban+1 ban = q3+nd q3+(n-1)d =qd=64=26 S2b2=(6+d)q=64

，由此可導(dǎo)出a_n與b_n．
（2）S_n=3+5++（2n+1）=n（n+2），所以

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

，然后用裂項(xiàng)求和法進(jìn)行求解．

解答：解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則d為正整數(shù)，a_n=3+（n-1）d，b_n=q^n-1
依題意有

ban+1 ban = q3+nd q3+(n-1)d =qd=64=26 S2b2=(6+d)q=64

①
由（6+d）q=64知q為正有理數(shù)，故d為6的因子1，2，3，6之一，
解①得d=2，q=8
故a_n=3+2（n-1）=2n+1，b_n=8^n-1
（2）S_n=3+5++（2n+1）=n（n+2）
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列和不等式的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用．考查分析解決問題的能力和運(yùn)算能力，是難題．