Question

已知函數(shù)f(x)=

( 1 2 )x-1，(x≤0) -x2+2x，(x＞0)

，對于下列命題：
①函數(shù)f（x）的最小值是0；
②函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)；
③若f（x）＞1，則x＜-1；
④若函數(shù)y=f（x）-a有三個零點，則a的取值范圍是0＜a＜1；
⑤函數(shù)y=|f（x）|關(guān)于直線x=1對稱．
其中正確命題的序號是

③④

．（填上你認為所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：①由于x＞0時，y=-x²+2x為開口向下的二次函數(shù)，故①錯；
②由于x＞0時，y=-x²+2x在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，故②錯；
③由于x＞0時，y=-x²+2x≤1，故f（x）＞1，即是(

1

2

)x-1＞1，解出即可判斷③的對錯；
④由于函數(shù)y=f（x）-a有三個零點，即是f（x）=a有三個根，故需使a在函數(shù)函數(shù)y=f（x）的極大值與極小值之間即可；
⑤由于函數(shù)f(x)=

( 1 2 )x-1，(x≤0) -x2+2x，(x＞0)

，顯然函數(shù)y=|f（x）|的圖象不為軸對稱圖形．

解答：解：由于函數(shù)f(x)=

( 1 2 )x-1，(x≤0) -x2+2x，(x＞0)

，
則當x≤0時，圖象是由y=(

1

2

)x下移1個單位得到的；
當x＞0時，圖象是開口向下，對稱軸為x=1且最大值為1的二次函數(shù)圖象．如圖示

由圖知，顯然①②為假命題，
③由于x＞0時，y=-x²+2x≤1，故f（x）＞1，即是(

1

2

)x-1＞1，解得x＜-1，故③對；
④由于函數(shù)y=f（x）-a有三個零點，即是f（x）=a有三個根，故需使a滿足

a＞f(x)極小值 a＜f(x)極大值

，
由圖知，f（x）_極小值=0，f（x）_極大值=1，故實數(shù)a的范圍是0＜a＜1；
⑤由于函數(shù)f(x)=

( 1 2 )x-1，(x≤0) -x2+2x，(x＞0)

，顯然函數(shù)y=|f（x）|的圖象不為軸對稱圖形，故⑤為假命題．
故答案為 ③④．

點評：本題考查的知識點是，判斷命題真假，比較綜合的考查了二次函數(shù)和分段函數(shù)的一些性質(zhì)，我們可以根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)對四個結(jié)論逐一進行判斷，可以得到正確的結(jié)論．